（同步课堂）2013-2014 学年高中数学 2.3 函数的单调性名师考点精讲 北师大版必修 1 [读教材·填要点]1．函数在区间上增加(减少)的定义在函数 y＝f(x)的定义域内的一个区间 A 上，如果对于任意两数 x1x2∈A，当 x1＜x2时：(1)都有 f ( x 1) ＜ f ( x 2)，就称函数 y＝f(x)在区间 A 上是增加的．(2)都有 f ( x 1) ＞ f ( x 2)，就称函数 y＝f(x)在区间 A 上是减少的．2．函数的单调区间如果 y＝f(x)在区间 A 上是增加的或是减少的，那么称 A 为单调区间．在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降的．3．函数的单调性如果函数 y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数 y＝f(x)在这个子集上具有单调性．4．单调函数如果函数 y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．[小问题·大思维]1．在增加的和减少的函数定义中，能否把“任意 x1，x2∈A”改为“存在 x1，x2∈A”？提示：不能，如图，虽然存在－1＜2 使 f(－1)＜f(2)，但 f(x)在[－1，2]上并不是增加的．2．函数 f(x)＝的单调减区间能否写成(－∞，0)∪(0，＋∞)?提示：不能，如 x1＝－1，x2＝1 满足 x1＜x2，但有 f(x1)＝－1＜f(x2)＝1，不符合减少的要求．3．函数区间端点对函数单调区间有作用吗？是否应考虑？提示：函数在某一点处的单调性并无意义．所以不存在单调性问题．在书写函数的单调区间时，区间端点开或闭一般可不予考虑．若端点处函数有意义，包括不包括端点均可；但若函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间．[研一题][例 1] 试判断函数 f(x)＝在其定义域上的单调性，并加以证明．[自主解答] 函数定义域为{x|x≠1}，又 f(x)＝＝＝＋1，可由反比例函数 y＝图像得其图像如图所示：由图像知，函数在(－∞，1)和(1，＋∞)上为减函数，证1明如下：设 x1，x2∈(1，＋∞)，且 x1＜x2，则 f(x1)＝，f(x2)＝.f(x2)－f(x1)＝－＝. 1＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x2－1＞0，x1－1＞0.∴f(x2)－f(x1)＜0，∴f(x2)＜f(x1)．∴f(x)在(1，＋∞)上为减函数，同理可证 f(x)在(－∞，1)上为减函数．综上 f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上为减函数．[悟一法]判断函数的单调性通常利用定义法和图像法两种．而证明单调性一般要用定义法，其一般步骤为：(1)设元：设 x1，x2为区间上的任意两个变量，且 x...
