（同步课堂）2013-2014学年高中数学 2.5 简单的幂函数名师考点精讲 北师大版必修1

（同步课堂）2013-2014 学年高中数学 2.5 简单的幂函数名师考点精讲 北师大版必修 1 [读教材·填要点]1．幂函数的定义如果一个函数，底数是自变量 x ，指数是常量 α ，即 y ＝ x α ，这样的函数称为幂函数．[提醒] 在中学时段只要求关注 α＝－1，，1，2，3，共 5 种幂函数的性质．2．函数的奇偶性(1)奇函数：一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数，在奇函数 f(x)中，f(x)和 f(－x)的绝对值相等，符号相反，即 f(－x)＝－ f(x) ；反之，满足 f(－x)＝－ f(x) 的函数 y＝f(x)一定是奇函数．(2)偶函数：一般地，图像关于 y 轴 对称的函数叫作偶函数，在偶函数 f(x)中，f(x)和 f(－x)的值相等，即 f(－x)＝f(x)；反之，满足 f(－x)＝f(x)的函数 y＝f(x)一定是偶函数．(3)奇偶性：当函数 f(x)是奇函数或偶函数时，称函数具有奇偶性．[小问题·大思维]1．具有奇偶性的函数其定义域有何特点？提示：具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称，由奇函数的定义可知 f(－x)＝－f(x)，故变量 x，－x 均在定义域中，同理，对于偶函数，由 f(－x)＝f(x)可知，－x，x 也均在定义域内．2．既是奇函数，又是偶函数的函数不存在，对吗？提示：不对．如函数 y＝0(x∈R)，其图像既关于原点对称，又关于 y 轴对称，所以函数 y＝0(x∈R)既是奇函数又是偶函数．3．定义在 R 上的奇函数 f(x)，f(0)的值是多少？提示：f(0)＝0.[研一题][例 1] 已知幂函数 f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3，当 x∈(0，＋∞)时为减函数．(1)求函数 y＝f(x)的解析式；(2)用描点法作出 f(x)的图像；(3)给出 y＝f(x)的单调区间及其值域，并判断其奇偶性．[自主解答] (1) f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3 为幂函数，∴m2－m－1＝1，解之得 m＝－1 或 m＝2.1当 m＝－1 时，f(x)＝x0＝1(x≠0)，易知不符合题意．当 m＝2 时．f(x)＝x－3(x≠0)，易知在(0，＋∞)上为减函数．∴f(x)＝x－3(x≠0)；(2)列表：x…－2－1－012…y…－－1－8不存在81…作图：(3)由(2)可知 f(x)的单调减区间为(0，＋∞)及(－∞，0)，f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(x)为奇函数．[悟一法](1)幂函数 y＝xα要满足三个特征：① 幂 xα的系数为 1；② 底数只能是自变量 x，指数是常数；③ 项数只有一项．只有满足这三个特征，才是幂函数．(2)幂函数的图像可用描点法得到，其性质可由图像得到．[通一类]1．(1)若函数 f(x)既是幂函数又是反比例函...