（同步课堂）2013-2014学年高中数学 3.2 指数扩充及其运算性质名师考点精讲 北师大版必修1

（同步课堂）2013-2014 学年高中数学 3.2 指数扩充及其运算性质名师考点精讲 北师大版必修 1[读教材·填要点]1．分数指数幂(1)定义：给定正实数 a，对于任意给定的整数 m，n(m，n 互素)，存在唯一的正实数 b，使得 b n ＝ a m ，把 b 叫作 a 的次幂，记作 b＝a，它就是分数指数幂．(2)几个结论：① 正分数指数幂的根式形式：a＝(a>0)．② 负分数指数幂的意义：a－＝(a>0，m，n∈N＋，且 n>1)．③0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂无意义．2．指数幂的运算性质若 a>0，b>0，对任意实数 m，n，指数运算有以下性质：(1)am·an＝a m ＋ n ；(2)(am)n＝a m · n ；(3)(ab)m＝a m b m ．[小问题·大思维]1．若 b2＝53，则 b＝5，b 叫作 5 的次幂吗？提示：不一定，当 b＞0 时，可以；当 b＜0 时，b 不叫作 5 的次幂．2．为什么分数指数幂中规定整数 m，n 互素？提示：如果没有这个规定将导致幂的运算结果出现矛盾．例如：a 中，底数 a∈R，当 a＜0时，a＜0，而如果把 a 写成 a，有两种运算：一是 a＝(a)2就必须 a≥0；二是 a＝(a2)，在 a＜0时，a 的结果大于 0，与 a＜0 相矛盾．所以规定整数 m、n 互素．3．分数指数幂 a 可以理解为个 a 相乘，对吗？提示：分数指数幂 a 不可理解为个 a 相乘，它是根式的一种新的写法，规定：a＝()m＝(a>0，n、m∈N＋，且为既约分数)，a－＝＝＝(a>0，n、m∈N＋，且为既约分数)．[研一题][例 1] 用分数指数幂表示下列各式．(1)(a＞0)； (2)；(3)()－(b＞0)．[自主解答] (1)原式＝＝＝(a)＝a；(2)原式＝＝1＝＝＝＝x－；(3)原式＝[(b－)]－＝b(－)××(－)＝b.[悟一法]此类问题应熟练应用 a＝(a＞0，m，n∈N＋，且 n＞1)．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再根据性质进行化简．[通一类]1．用分数指数幂表示下列各式．(1)8；(2)a2·；(3) (a＞0)；(4)(a＞0)．解：(1)8＝23·2＝23＋＝2；(2)原式＝a2·a＝a2＋＝a；(3)原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝a；(4)原式＝＝a2－－＝a.[研一题][例 2] 计算或化简．(1)a3b2(2ab－1)3；(2)(0.064)－－(－)0＋[(－2)3]－＋16－0.75＋；(3)(2)0.5＋0.1－2＋(2)－－3π0＋；(4) ÷ (a＞0)；(5)4＋1·23－2 ·8－.[自主解答] (1)原式＝a3b223a3b－3＝8a6b－1；(2)原式＝[(0.4)3] －－1＋(－2)－4＋2－3＋[(0.1)2]＝(0.4)－1－1＋＋＋0.1＝；(3)原...