（同步课堂）2013-2014 学年高中数学 3.4 对数名师考点精讲 北师大版必修 1 [读教材·填要点]1．对数的概念与性质(1)定义：一般地，如果 a(a＞0，a≠1)的 b 次幂等于 N，即 ab＝N，那么数 b 叫作以 a 为底 N 的对数，记作 logaN ＝ b ．其中 a 叫作对数的底数，N 叫作真数．logaN 读作以 a 为底 N 的对数．(2)常用对数与自然对数：以 10 为底的对数叫作常用对数，记作 lg_N；以 e 为底的对数叫作自然对数，记作 ln_N．(3)基本性质：① 负数没有对数，即 logaN 中真数必须大于零；②1 的对数为 0，即 loga1 ＝ 0 ；③ 底数的对数为 1，即 logaa ＝ 1 ；④ 对数恒等式：a log aN ＝ N ．2．对数的运算性质如果 a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则：(1)积的对数：loga(MN)＝logaM ＋ log aN；(2)商的对数：loga＝logaM － log aN；(3)幂的对数：logaMn＝n log aM ( n ∈ R ) ．3．对数的换底公式logbN＝(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)．[小问题·大思维]1．指数式 ab＝N 和对数式 logaN＝b(a＞0 且 a≠1，N＞0)有什么关系？提示：关系如图示2．如何用对数的定义证明 alogaN＝N?提示：因为若 ab＝N，则 b＝logaN(a＞0 且 a≠1)，所以由等量代换得 alogaN＝N.3．对数运算性质(1)当 M、N 同号时成立吗？提示：不一定成立．如 lg [(－5)×(－3)]有意义，而 lg(－5)、lg(－3)无意义．1[研一题][例 1] (1)将对数式 log27＝－3 化为指数式；(2)将指数式()－2＝16 化为对数式；(3)求式子 log2(log5x)＝0 中的 x；(4)计算 4(log29－log25)．[自主解答] (1)因为 log27＝－3，所以()－3＝27；(2)因为()－2＝16，所以 log16＝－2；(3)因为 log2(log5x)＝0，所以 log5x＝1，所以 x＝5；(4)原式＝2log 29－log 25＝＝.[悟一法](1)对数式和指数式互化的主要依据是关系式 ab＝N 等价于 b＝logaN(a＞0 且 a≠1，N＞0)，要注意 a、b、N 的位置．(2)有关“底数”和“1”的对数，可利用对数的性质求出其值为“1”和“0”，化成常数，有利于化简和计算．(3)对于对数恒等式 alogaN＝N 要注意其结构特点：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．[通一类]1．(1)将指数式 104＝10 000 和()m＝5 化为对数式；(2)将对数式 log0.10.01＝2 和 ln x＝化为指数式；(3)求式 log3(lg x)＝1 中的 x；(4)计算 71－log75的值．解：(1)lg 10 00...
