第 15 讲 导数与函数的单调性【课程要求】了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间及参数的范围．对应学生用书 p41【基础检测】1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f′(x)>0.( )(2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f′(x)＝0，则 f(x)在此区间内没有单调性．( )[答案] (1)× (2)√2．[选修 2－2p32A 组 T4]如图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是( )A．在区间(－2，1)上，f(x)是增函数B．在区间(1，3)上，f(x)是减函数C．在区间(4，5)上，f(x)是增函数D．当 x＝2 时，f(x)取到极小值[解析]在(4，5)上 f′(x)>0 恒成立，∴f(x)是增函数．[答案]C3．[选修 2－2p24例 2]函数 f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为______________．[解析]f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由 f′(x)<0，得 0f(3)>f(π) B．f(3)>f(2)>f(π)C．f(2)>f(π)>f(3) D．f(π)>f(3)>f(2)[解析]f(x)＝1＋x－sinx，则 f′(x)＝1－cosx≥0，则函数 f(x)为增函数． 2<3<π，∴f(π)>f(3)>f(2)．[答案]D6．已知定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足 f(1)＝3，且 f(x)的导数 f′(x)在 R 上恒有 f′(x)<2(x∈R)，则不等式 f(x)<2x＋1 的解集为________________．[解析]令 g(x)＝f(x)－2x－1，∴g′(x)＝f′(x)－2<0，∴g(x)在 R 上为减函数，g(1)＝f(1)－2－1＝0.由 g(x)<0＝g(1)，得 x>1.∴不等式的解集为(1，＋∞)．[答案] (1，＋∞)【知识要点】1．函数的单调性：在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)>0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果 f′(x)<0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．在某区间内 f′(x)>0(f′(x)<0)是函数 f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．3．可导函数 f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有 f′(x)≥0(f′(x)≤0)且 f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都...
