专题 5 函数的综合应用高考中，函数作为压轴题的考查层出不穷，是历年来高考的热点问题之一，很多时候都以函数为载体考查学生分析问题、解决问题的能力，考查学生的数学素养以及运用数学思想处理问题的能力，填空题中往往也在 13、14 题的位置作为把关题，结合函数的性质以及图象来考查学生的等价转化能力和数据处理能力.抓住函数的本质，掌握求函数性质的一般方法，特别是求函数值域的方法对我们解决中高档题目有着重要的意义.预测在 2013 年的高考题中：1 仍然作为把关题出现在填空题和解答题的后半部分.2 结合导数一起考查，利用导数探究函数的性质.1．(2012·启东测试)若实数 x 满足对任意正数 a>0，均有 a>x2－1，则 x 的取值范围是________． 解析：由题意得 x2－1≤0，即－1≤x≤1.答案：[－1,1]2．函数 f(x)＝x2－在[1，＋∞)上的最小值是－4，则正实数 a＝________.解析：f′(x)＝2x＋＞0，则 f(x)在[1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(1)＝1－a＝－4，a＝5.答案：53．关于 x 的不等式 x2＋9＋|x2－3x|≥kx 在[1,5]上恒成立，则实数 k 的范围为________．解析： 两边同除以 x，则 k≤x＋＋|x－3|，x＋≥6，|x－3|≥0，当且仅当 x＝3，两等式同时取得等号，所以 x＝3 时，右边取最小值 6.所以 k≤6.答案：(－∞，6]4．设定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)·f(x＋2)＝13，若 f(1)＝2，则 f(99)＝________.解析：由 f(x)·f(x＋2)＝13 得 f(x＋2)·f(x＋4)＝13，即 f(x＋4)＝f(x)，所以 f(99)＝f(3)＝＝.答案：5．已知 a>0 且 a≠1，当 x∈(－1,1)时，不等式 x2－ax<恒成立，则 a 的取值范围________．解析：不等式 x2－ax<可化为 ax>x2－，画出 y1＝ax，y2＝ x2－的图象．由图可看出≤a<1 或 1
4 时，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，得 a≤，又 a>4，故不存在；(2)当－∈[－2,2]，即－4≤a≤4 时，g(a)＝f＝3－a－≥0，得－6≤a≤2，又－4≤a≤4，故－4≤a≤2；(3)当－>2，即 a<－4，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，得 a≥－7，又 a<－4，故－7≤a<－4.综上所述 a 的取值范围为[－7,2]．法二：原题可等价转化为 x2＋3≥(1－x)a 对于任意的 x∈[－2,2]恒成立．(1)若 1－x＝0 即 ...
