专题探究课 4 高考中立体几何问题的热点题型热点一 利用判定定理证明平行、垂直关系【例 1】 如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，BC⊥AC，D，E 分别是 AB，AC 的中点.(1)求证：B1C1∥平面 A1DE；(2)求证：平面 A1DE⊥平面 ACC1A1.证明 (1)因为 D，E 分别是 AB，AC 的中点，所以DE∥BC，又因为三棱柱 ABC－A1B1C1中，B1C1∥BC，所以 B1C1∥DE.又 B1C1⊄平面 A1DE，DE⊂平面 A1DE，所以 B1C1∥平面 A1DE.(2)在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，CC1⊥底面 ABC，又 DE⊂底面 ABC，所以 CC1⊥DE.又 BC⊥AC，DE∥BC，所以 DE⊥AC，又 CC1，AC⊂平面 ACC1A1，且 CC1∩AC＝C，所以 DE⊥平面 ACC1A1.又 DE⊂平面 A1DE，所以平面 A1DE⊥平面 ACC1A1.【训练】 如图，在四棱锥 PABCD 中，AD＝CD＝AB，AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面 ABCD.(1)求证：BC⊥平面 PAC；(2)若 M 为线段 PA 的中点，且过 C，D，M 三点的平面与 PB 交于点 N，求 PN∶PB 的值．(1)证明 设 AD＝1.因为 AD＝CD＝AB，所以 CD＝1，AB＝2.因为∠ADC＝90°，所以 AC＝，∠CAB＝45°.在△ABC 中，由余弦定理得 BC＝，所以 AC2＋BC2＝AB2，所以 BC⊥AC.因为 PC⊥平面 ABCD，BC⊂平面 ABCD，所以 BC⊥PC.因为 PC⊂平面 PAC，AC⊂平面 PAC，PC∩AC＝C，所以 BC⊥平面 PAC.(2)解 如图，因为 AB∥DC，CD⊂平面 CDMN，AB⊄平面 CDMN，所以 AB∥平面 CDMN.因为 AB⊂平面 PAB，平面 PAB∩平面 CDMN＝MN，所以 AB∥MN.在△PAB 中，因为 M 为线段 PA 的中点，所以 N 为线段 PB 的中点，即 PN∶PB 的值为.热点二 利用性质定理证明平行、垂直关系【例 2】 如图，四棱锥 P－ABCD 中，AD⊥平面 PAB，AP⊥AB.(1)求证：CD⊥AP；(2)若 CD⊥PD，求证：CD∥平面 PAB.证明 (1)因为 AD⊥平面 PAB，AP⊂平面 PAB，所以 AD⊥AP.又因为 AP⊥AB，AB∩AD＝A，AB⊂平面 ABCD，AD⊂平面 ABCD，所以 AP⊥平面 ABCD.因为 CD⊂平面 ABCD，所以 CD⊥AP.(2)因为 CD⊥AP，CD⊥PD，且 PD∩AP＝P，PD⊂平面 PAD，AP⊂平面 PAD，所以 CD⊥平面 PAD.①因为 AD⊥平面 PAB，AB⊂平面 PAB，所以 AB⊥AD.又因为 AP⊥AB，AP∩AD＝A，AP⊂平面 PAD，AD⊂平面 PAD，所以 AB⊥平面 PAD.②由①②得 CD∥AB，因为 CD⊄平面 PAB，AB⊂平面 PAB，所以 CD∥平面 PAB.热点三 立体几何中的探究性问题【例 3】 在正三...
