（江苏专用）高考数学大一轮复习第三章导数及其应用高考专题突破一高考中的导数应用问题（第2课时）导数与方程教案（含解析）-人教版高三全册数学教案

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第 2 课时导数与方程题型一求函数零点个数例 1 已知函数 f(x)＝2a2lnx－x2(a>0)．(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)讨论函数 f(x)在区间(1，e2)上零点的个数(e 为自然对数的底数)．解 (1) f(x)＝2a2ln x－x2，∴f′(x)＝－2x＝＝， x>0，a>0，当 00，当 x>a 时，f′(x)<0.∴f(x)的单调增区间是(0，a)，单调减区间是(a，＋∞)．(2)由(1)得 f(x)max＝f(a)＝a2(2ln a－1)．讨论函数 f(x)的零点情况如下：① 当 a2(2ln a－1)<0，即 00，即 a>时，由于 f(1)＝－1<0，f(a)＝a2(2ln a－1)>0，f(e2)＝2a2ln(e2)－e4＝4a2－e4＝(2a－e2)(2a＋e2)，当 2a－e2<0，即时，f(e2)≥0，而且 f()＝2a2·－e＝a2－e>0，f(1)＝－1<0，由函数的单调性可知，无论 a≥e2，还是 a0)，由 f′(x)＝0，得 x＝e.∴当 x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减，当 x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，∴当 x＝e 时，f(x)取得极小值 f(e)＝lne＋＝2，∴f(x)的极小值为 2.(2)由题设 g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)，令 g(x)＝0，得 m＝－x3＋x(x>0)．设 φ(x)＝－x3＋x(x≥0)，则 φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，当 x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x...

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