高考热点追踪(二)三角函数与平面向量交汇集中展示当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交汇性．向量具有代数与几何形式的双重身份，它是新旧知识的一个重要的交汇点，成为联系这些知识的桥梁，因此，向量与三角的交汇是当今高考命题的必然趋势，以下几例重在为备考中的考生揭示题型规律，与同学们共同归纳与探究解题策略．一、三角与平面向量模交汇 已知向量 a＝(sin θ，1)，b＝(1，cos θ)，－＜θ＜．求|a＋b|的最大值．【解】 |a＋b|＝＝＝＝ ，当 sin＝1 时|a＋b|有最大值，此时 θ＝，最大值为＝＋1．[名师点评] 本题求|a＋b|的最大值利用了向量模的定义，也可以用平方法，同学们可以尝试．二、三角与平面向量线性运算交汇 (2019·南京模拟)设两个向量 a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和 b＝，其中 λ，m，α为实数．若 a＝2b，求的取值范围．【解】 由 a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和 b＝，a＝2b，可得设＝k，代入方程组可得消去 m，化简得－cos2α＝＋2sin α，再化简得－cos2α＋－2sin α＝0，再令＝t 代入上式得(sin α－1)2＋(16t2＋18t＋2)＝0 可得－(16t2＋18t＋2)≥0，解不等式得 t∈，因而－1≤≤－解得－6≤k≤1，即－6≤≤1．[名师点评] 本题字母比较多，运算复杂，要认真体会换元法和整体思想的运用．三、三角与平面向量平行交汇 已知 a＝(cos x，2)，b＝(2sin x，3)，若 a∥b，则 sin 2x－2cos2x＝__________ ．【解析】 因为 a＝(cos x，2)，b＝(2sin x，3)，a∥b，所以 3cos x－4sin x＝0，即 tan x＝．所以 sin 2x－2cos2x＝＝＝－．【答案】 －[名师点评] 本题主要考查了向量共线的条件、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本知识．四、三角与平面向量垂直交汇 (2019·苏州模拟)已知向量 a＝(sin θ，)，b＝(1，cos θ)，θ∈．若 a⊥b，则 θ＝________．【解析】 由 a⊥b 得 a·b＝0，所以 a·b＝sin θ＋cos θ＝0，即 2sin＝0．因为 θ∈，所以 θ＝－．【答案】 －[名师点评] 本题利用向量垂直的性质，得到三角函数式，最终求解得到答案．五、三角与平面向量夹角交汇 设 a ＝ (1 ＋ cos α ， sin α) ， b ＝ (1 － cos β ， sin β) ， c ＝(1，0)，α∈(0，π)，β∈(π，2π)，a 与 c 的夹角为 θ1，b 与 c 的夹角为 θ2，且 θ1－θ2＝，求 sin 的值．【解】 因为|a|＝＝2cos，|b|＝＝2sin，|c|...
