高考热点追踪(三)交汇性试题，向来是高考试题中最为亮丽的风景线，这类问题着重考查观察发现，类比转化以及运用数学知识分析和解决数学问题的能力．下面举例说明数列的交汇性运用，请同学们赏析．一、数列与几何图形交汇 (2019·南通模拟)如图是一个面积为 1 的三角形，现进行如下操作．第一次操作：分别连结这个三角形三边的中点，构成 4 个三角形，挖去中间一个三角形(如图①中阴影部分所示)，并在挖去的三角形上贴上数字标签“1”；第二次操作：连结剩余的三个三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形 (如图②中阴影部分所示)，同时在挖去的 3 个三角形上都贴上数字标签“2”；第三次操作： 连结剩余的各三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形，同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“3”；……，如此下去．记第 n 次操作后剩余图形的总面积为 an．(1)求 a1、a2；(2)欲使剩余图形的总面积不足原三角形面积的，问至少经过多少次操作？(3)求第 n 次操作后，挖去的所有三角形上所贴标签上的数字和 Sn．【解】 (1)a1＝，a2＝．(2)因为{an}是以为首项，以为公比的等比数列，所以 an＝．由<，得 3n<4n－1．因为 31>40，32>41，33>42，34>43，35<44，所以当 n＝5 时，<．所以至少经过 5 次操作，可使剩余图形的总面积不足原三角形面积的．(3)设第 n 次操作挖去 bn个三角形，则{bn}是以 1 为首项，3 为公比的等比数列，即 bn＝3n－1．所以所有三角形上所贴标签上的数字的和 Sn＝1×1＋2×3＋…＋n×3n－1，则 3Sn＝1×3＋2×32＋…＋n×3n，两式相减，得－2Sn＝(1＋3＋32＋…＋3n－1)－n×3n＝－n×3n，故 Sn＝×3n＋．[名师点评] 本题把几何问题与代数解法自然联系起来．从运算到推理，都要有很强的思维判断性和熟练的解题技能．合理的推断 ， 能使解题简捷、运算简单 ， 节约大量的解题时 间，反之，则会因运算繁杂不断出错而无法进行下去，这体现了有较高的思维水平者因能善于运用思维而赢得解题时间，是高层次的解决问题能力的标志．二、数列与三角函数交汇 已知函数 f(x)＝sin－cos．(1)求函数 f(x)的最小正周期与单调递减区间；(2)若函数 g(x)＝f，x>0 且函数 g(x)的图象与直线 y＝交点的横坐标由小到大依次是x1，x2，…，xn，求数列{xn}的前 100 项和．【解】 f(x)＝sin－cos＝sin＝sin 2x．(1)函数 f(x)的最小正周期 T＝＝π．令 2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，得 kπ＋≤x≤kπ＋，k...
