第 4 节 基本不等式及其应用考试要求 1
了解基本不等式的证明过程；2
会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题
知 识 梳 理1
基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号
(3)其中称为正数 a，b 的算术平均数，称为正数 a，b 的几何平均数
两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2 ab (a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号
利用基本不等式求最值已知 x≥0，y≥0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值是 2(简记：积定和最小)
(2)如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值是(简记：和定积最大)
[常用结论与微点提醒]1
＋≥2(a，b 同号)，当且仅当 a＝b 时取等号
≤≤≤(a>0，b>0)
应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错
在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式
若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致
诊 断 自 测1
判断下列结论的正误
(在括号内打“√”或“×”)(1)两个不等式 a2＋b2≥2ab 与≥成立的条件是相同的
( )(2)函数 y＝x＋的最小值是 2
( )(3)函数 f(x)＝sin x＋的最小值为 4
( )(4)x＞0 且 y＞0 是＋≥2 的充要条件
( )解析 (1)不等式 a2＋b2≥2ab 成立的条件是 a，b∈R；不等式≥成立的条件是 a≥0，b≥0
(2)函数 y＝x＋的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值
(3)函数 f(x)＝sin x＋没有最小值
(4)x>0 且 y>0 是＋≥2 的充分不必要条件
答案 (1)
