第 4 节 基本不等式及其应用考试要求 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知 识 梳 理1.基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号.(3)其中称为正数 a，b 的算术平均数，称为正数 a，b 的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2 ab (a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号.(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号.3.利用基本不等式求最值已知 x≥0，y≥0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值是 2(简记：积定和最小).(2)如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值是(简记：和定积最大).[常用结论与微点提醒]1.＋≥2(a，b 同号)，当且仅当 a＝b 时取等号.2.ab≤≤.3.≤≤≤(a>0，b>0).4.应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错.5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.诊 断 自 测1.判断下列结论的正误. (在括号内打“√”或“×”)(1)两个不等式 a2＋b2≥2ab 与≥成立的条件是相同的.( )(2)函数 y＝x＋的最小值是 2.( )(3)函数 f(x)＝sin x＋的最小值为 4.( )(4)x＞0 且 y＞0 是＋≥2 的充要条件.( )解析 (1)不等式 a2＋b2≥2ab 成立的条件是 a，b∈R；不等式≥成立的条件是 a≥0，b≥0.(2)函数 y＝x＋的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.(3)函数 f(x)＝sin x＋没有最小值.(4)x>0 且 y>0 是＋≥2 的充分不必要条件.答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.(教材必修 5P102T3 改编)已知 x>2，则 x＋的最小值是( )A.2 B.4 C.2 D.6解析 x>2，∴x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4＋2＝6.当 x－2＝，即 x＝4 时等号成立.答案 D3.(新教材必修第一册 P45 例 1 改编)若 x<0，则 x＋( )A.有最小值，且最小值为 2B.有最大值，且最大值为 2C.有最小值，且最小值为－2D.有最大值，且最大值为－2解析 因为 x<0，所以－x>0，x＋＝－≤－2＝－2，当且仅当 x＝－1 时，等号成立，所以 x＋≤－2.答案 D4.(2020·南京一模)已知实数 x 满足 logx>1，则函数 y＝8x＋的最大值为( )A.－4 B.8 C.4 D.0解析 由 logx>1 得 0
