高中数学高考《二项式定理》专题复习导学讲义

第 3 讲 二项式定理知 识 梳 理1.二项式定理二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)二项展开式得通项公式Tr＋1＝Can－rbr,它表示第 r ＋ 1 项二项式系数二项展开式中各项得系数 C,C,…,C2、二项式系数得性质(1)0≤k≤n 时,C 与 C 得关系就是 C ＝ C 、(2)二项式系数先增后减中间项最大当 n 为偶数时,第＋1 项得二项式系数最大,最大值为 Cn;当 n 为奇数时,第项与项得二项式系数最大,最大值为 Cn或 Cn、(3)各二项式系数与:C＋C＋C＋…＋C＝2 n ,C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2 n － 1 、辨 析 感 悟1.二项式定理得理解(1)Can－rbr就是(a＋b)n得展开式中得第 r 项.(×)(2)在(1－x)9得展开式中系数最大得项就是第 5 项与第 6 项.(×)(3)(教材习题改编)在 6得二项展开式中,常数项为－160、(√)2.二项式系数得性质(4)(a＋b)n得展开式中某一项得二项式系数与 a,b 无关.(√)(5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0,则 a7＋a6＋…＋a1得值为 128、(×)(6)(2025·安徽卷改编)若 n得展开式中,仅有第 5 项得二项式系数最大,且 x4得系数为7,则实数 a＝、(√)[感悟·提升]1.二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)揭示二项展开式得规律,一定牢记通项公式 Tr＋1＝Can－rbr就是展开式得第 r＋1 项,不就是第 r 项,如(1).2.二项式系数与展开式项得系数得异同一就是在 Tr＋1＝Can－rbr中,C 就是该项得二项式系数,与该项得(字母)系数就是两个不同得概念,前者只指 C,而后者就是字母外得部分,前者只与 n 与 r 有关,恒为正,后者还与 a,b 有关,可正可负,如(2)就就是混淆两个概念得区别.二就是二项式系数得最值与增减性与指数 n 得奇偶性有关,当 n 为偶数,中间一项得二项式系数最大,如(6);当 n 为奇数时,中间两项得二项式系数相等,且同时取得最大值、考点一 通项公式及其应用【例 1】 (1)(2025·浙江卷)设二项式 5得展开式中常数项为 A,则 A＝________、(2)(2025·新课标全国Ⅱ卷改编)已知(1＋ax)(1＋x)5得展开式中 x2得系数为 5,则 a 等于________.解析 (1)Tr＋1＝C()5－rr＝C(－1)rx－,令－r＝0,得 r＝3,∴A＝－C＝－10、(2)(1＋ax)(1＋x)5＝(1＋x)5＋ax(1＋x)5,又(1＋x)5中含有 x 与 x2得项为 T2＝Cx,T3＝Cx2、∴展开式中 x2得系数为 C＋a·C＝5,∴a＝－1、答案 (1)－10 (2)－1规律方法 (1)二项式定理得核心就是通项公式,...