《高等数学复习》教程第一讲 函数、连续与极限一、理论要求1、函数概念与性质函数得基本性质(单调、有界、奇偶、周期)几类常见函数(复合、分段、反、隐、初等函数)2、极限极限存在性与左右极限之间得关系夹逼定理与单调有界定理会用等价无穷小与罗必达法则求极限3、连续函数连续(左、右连续)与间断理解并会应用闭区间上连续函数得性质(最值、有界、介值)二、题型与解法A、极限得求法(1)用定义求(2)代入法(对连续函数,可用因式分解或有理化消除零因子)(3)变量替换法(4)两个重要极限法(5)用夹逼定理与单调有界定理求(6)等价无穷小量替换法(7)洛必达法则与 Taylor 级数法(8)其她(微积分性质,数列与级数得性质)1、(等价小量与洛必达)2、已知解: (洛必达)3、 (重要极限)4、已知 a、b 为正常数,解:令(变量替换)5、解:令(变量替换)6、设连续,,求 (洛必达与微积分性质)7、已知在 x=0 连续,求 a解:令 (连续性得概念)三、补充习题(作业) 1、 (洛必达)2、 (洛必达或 Taylor)3、 (洛必达与微积分性质)第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求1、导数与微分导数与微分得概念、几何意义、物理意义会求导(基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导)会求平面曲线得切线与法线方程2、微分中值定理理解 Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor 定理会用定理证明相关问题3、应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题,能画简图会计算曲率(半径)二、题型与解法A、导数微分得计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1、决定,求2、决定,求解:两边微分得 x=0 时,将 x=0 代入等式得 y=13、决定,则 B、曲线切法线问题4、求对数螺线处切线得直角坐标方程。解:5、f(x)为周期为 5 得连续函数,它在 x=1 可导,在 x=0 得某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求 f(x)在(6,f(6))处得切线方程。解:需求,等式取 x->0 得极限有:f(1)=0C、导数应用问题6、已知,,求点得性质。解:令,故为微小值点。7、,求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。解:定义域8、求函数得单调性与极值、渐进线。解:,D、幂级数展开问题9、或:10、求解:= E、不等式得证明11、设,证:1)令 2)令F、中值定理问题12、设函数具有三阶连续导数,且,,求证:在(-1,1)上存在一点证:其中将 x=1,x=-1 代入有两式相减:13、,求证: 证:令令 (关键:构造函数)三、补充习题(作业)1、2、曲线3、4、证明 x>0 时 证:令 第三讲 不定积分与定积分一、理论要...
