高考数学大二轮总复习 高考压轴大题突破练（二）直线与圆锥曲线试题VIP免费

高考压轴大题突破练(二)直线与圆锥曲线(2)1.已知B是椭圆E：＋＝1(a>b>0)上的一点，F是椭圆右焦点，且BF⊥x轴，B.(1)求椭圆E的方程；(2)设A1和A2是长轴的两个端点，直线l垂直于A1A2的延长线于点D，|OD|＝4，P是l上异于点D的任意一点．直线A1P交椭圆E于M(不同于A1，A2)，设λ＝A2M·A2P，求λ的取值范围．2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－(p>0)．若抛物线C：y2＝2px上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2.(1)求抛物线C的方程；(2)若以抛物线C上任意一点M为切点的直线l与直线l2交于点N，试问在x轴上是否存在定点Q，使点Q在以MN为直径的圆上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为.(1)求C的方程；(2)过点(10,0)作直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点在直线y＝x－1上，求l的方程．4．(2015·四川)如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2.(1)求椭圆E的方程；(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得＝恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．答案精析高考压轴大题突破练(二)直线与圆锥曲线(2)1．解(1)依题意得半焦距c＝1，设左焦点为F′，∴|FF′|＝2c＝2，又∵|BF|＝，BF⊥x轴，∴在Rt△BFF′中，|BF′|＝＝，∵2a＝|BF|＋|BF′|＝4，∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝22－12＝3.所以椭圆E的方程为＋＝1.(2)由(1)知，A1(－2,0)，A2(2,0)．设M(x0，y0)．∵M在椭圆E上，∴y＝(4－x)．由P，M，A1三点共线可得P.∴A2M＝(x0－2，y0)，A2P＝.∴A2M·A2P＝2(x0－2)＋＝(2－x0)，∵－20，得p≥.此时抛物线上的点到直线l2的最短距离为≥>2，不满足题意．所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)设M(x0，y0)，由题意知直线l斜率存在，设为k，且k≠0，所以直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)，代入y2＝4x，消去x，得ky2－4y＋4y0－ky＝0.由Δ2＝16－4k(4y0－ky)＝0，得k＝，所以直线l的方程为y－y0＝(x－x0)，令x＝－1，由y＝4x0，得N(－1，)．设Q(x1,0)，则QM＝(x0－x1，y0)，QN＝(－1－x1，)，由题意知QM·QN＝0，即(x0－x1)(－1－x1)＋＝0，把y＝4x0代入上式，得(1－x1)x0＋x＋x1－2＝0.因为对任意的x0等式恒成立，所以解得x1＝1.所以在x轴上存在定点Q(1,0)，使点Q在以MN为直径的圆上．3．解(1)由椭圆过点(0,4)，知b＝4.又e＝＝，所以＝，解得a＝5.所以C的方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(a，a－1)，则＋＝1，＋＝1.两式相减并变形，得＋＝0，因为x1＋x2＝2a，y1＋y2＝2(a－1)，＝kAB＝，所以＋·＝0.解得a＝或a＝5.当a＝5时，点M(5,4)在椭圆外部，不符合要求，所以kAB＝＝.故直线l的方程为y＝(x－10)，即4x－45y－40＝0.4．解(1)由已知，点(，1)在椭圆E上，因此解得a＝2，b＝，所以椭圆E的方程为＋＝1.(2)当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点，如果存在定点Q满足条件，则有＝＝1，即|QC|＝|QD|，所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为(0，y0)．当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M，N两点，则M，N的坐标分别为(0，)，(0，－)，由＝，有＝，解得y0＝1，或y0＝2，所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为(0,2)，下面证明：对任意直线l，均有＝，当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立，当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝－，因此＋＝＝2k，易知，点B关于y轴对称的点B′的坐标为(－x2，y2)，又kQA＝＝＝k－，kQB′＝＝＝－k＋＝k－，所以kQA＝kQB′，即Q，A，B′三点共线，所以＝＝＝，故存在与P不同的定点Q(0,2)，使得＝恒成立．