“隔板法”解决排列组合问题(5 页)Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。 “隔板法”解决排列组合问题（高二、高三） 排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采纳“隔板法”可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。例 1、（1）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？（2）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，问不同放法有多少种？（3）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？解：（1）将 12 个小球排成一排，中间有11 个间隔，在这 11 个间隔中选出 3 个，放上“隔板”，若把“1”看成隔板，则如图001000010000100 隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中 1，2，3，4 四个盒子相应放入 2 个，4个，4 个，2 个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从 11 个间隔中选出 3 个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有=165 种。（2）法 1：（分类）①装入一个盒子有种；②装入两个盒子，即 12 个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有种;③ 装入三个盒子，即 12 个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有=220种;④ 装入四个盒子，即 12 个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有种;由加法原理得共有 4+66+220+165=455 种。法 2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的 12 个小球任意装，即 16 个小球装入 4 个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有种。（3）法 1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩 2 个小球，则这两个小球可以装在 1 个盒子或两个盒子，共有种。法 2：先给每个盒子装上比编号小 1 的小球，还剩 6 个小球，则转化为将 6 个相同的小球装入 4 个不同的盒子，每盒至少装一个，由隔板法有由上面的例题可以看出法 2 要比法 1 简单，即此类问题都可以转化为至少分一个的问题。例 2、（1）方程的正整数解有多少组？(2) 方程的非负整数解有多少组？（3）方程的非负整数整数解有多少组？解：（1）转化为 10 个相同的小球装入 4 个不同的盒子，每盒至少装一个，有种，所以...
