与旋转有关的最值(5 页)Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。 难点突破专题 与旋转有关的最值与路径一、构造全等，结合三边关系求最值1. 如图，等腰之间△ABC 中，AC=BC=,等腰直角△CDP 中，CD=CP 且 PB=，将△CDP 绕点 C 旋转（C、P、D 三点按顺时针方向排列）（1）当∠PBC= 时，BD 有最小值，最小值为多少？（2）当角 PBC= 时，BD 有最大值。最大值为多少？解：连接 AD. △CDP、△ACB 都是等腰直角三角形，∴CD=CP，AC=BC，∠PCD=∠BCA=90°. ∠PCD=∠BCP+∠BCD=90°，∠BCA=∠BCD+∠DCA=90°，∴∠BCP=∠DCA. ∠BCP=∠ACD，BC=AC，CP=CD，∴△CPB≌△CDA（SAS），∴PB=AD=. AB-AD≤BD≤AB+AD，∴-2≤BD≤+2.（1）当∠PBC=45°时，A、D、B 共线，BD 有最小值-2；（2）当∠PBC=135°时，A、D、B 共线，BD 有最大值+2.二、遇等边三角形，旋转求最值2. 如图，△ABC 中，AB=2，AC=4，以 BC 为边在 BC 的下方作等边△PBC，求AP 的最大值。解：如图 2， △ABP 逆时针旋转 60°得到△A′BC，∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C∴△A′BA 是等边三角形，∴A′A=AB=BA′=2，在△AA′C 中，A′C＜AA′+AC，即 AP＜6，则当点 A′A、C 三点共线时，A′C=AA′+AC，即 AP=6，即 AP 的最大值是：6；故答案是：6三、遇等边三角形，旋转求最值3. 如图，△ABC 中，AB=，AC=3，以 C 为直角顶点，BC 为直角边，向下作等腰直角△BCD，求 AD 的最大值。解：将△ACD 绕点 C 顺时针旋转 90°得△A′CB，连结 AA′，则△AA′C 为等腰直角三角形，∴AA′=，AC=3，AD=A′B. A′B＜AB+AA′，∴当点 B、A、A′三点共线时，A′B 最大，此时 A′B=A′B+AA′=+3=4,∴AD 的最大值为 4四、遇中点，构造中位线求最值4. 如图，在等腰直角△ABC 中，AB=AC=3，在等腰直角△BEF 中，BE=EF=1,O为 CF 的中点。当△BEF 绕点 B 旋转时，AO 的最大值为 。五、运动路径为线段长5. 在平面直角坐标系中，点 C 沿着某条路径运动，以点 C 为旋转中心，将点A（0，4）逆时针旋转到点 B（m，1）若，则点 C 的运动路径长为 。解：如图 1 所示，在 y 轴上取点 P（0，1），过 P 作直线 l∥x 轴， B（m，1）， ∴B 在直线 l 上， C 为旋转中心，旋转角为 90°，∴BC=AC，∠ACB=90°， ∠APB=90°， ∴∠1=∠2，作 CM⊥OA 于 M，作 CN⊥l 于 N，则 Rt△BCN≌Rt...
