第十一节导数在研究函数中的应用[基础达标]一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2015·内江一模)已知函数f(x)=x3-x2+cx+d有极值,则实数c的取值范围为()A.B.C.D.1.A【解析】由题意可知f'(x)=x2-x+c=0有两个不同的实根,所以Δ=1-4c>0,即c<.2.(2016·湖南师大附中月考)函数y=的图象大致为()2.D【解析】由y=得y'=,因此可知函数y=在区间(0,1),(1,e)内单调递减,在区间[e,+∞)上单调递增,故选项D正确.3.(2015·北京海淀区期末考试)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,当x≤0时,f(x)=(x+1)3ex+1,那么函数f(x)的极值点的个数是()A.5B.4C.3D.23.C【解析】当x≤0时,f'(x)=(x+1)2ex+1(x+4),令f'(x)=0解得x=-1或x=-4,又当x∈(-4,-1)∪(-1,0)时.f'(x)>0,故x=-1不是f(x)的极值点;当x∈(-∞,-4)时,f'(x)<0,当x∈(-4,0)时f'(x)>0,故x=-4是f(x)的一个极值点.又因为f(x)是定义域为R的偶函数.所以当x>0时,x=4为f(x)的一个极值点,所以f(x)在x=0左右两侧函数的单调性不一致,故x=0也为f(x)的一个取值点,综合可得f(x)的极值点个数为3个.4.(2016·福建大田一中月考)已知函数f(x)=lnx--ax-b,若函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为()A.(-∞,0)B.(-∞,0]C.D.4.B【解析】由f(x)=lnx--ax-b,得f'(x)=-a,因为函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,所以对∀x∈(0,+∞),都有f'(x)=-a≥0恒成立,即对∀x>0,都有a≤,因为>0,所以a≤0,所以实数a的取值范围是(-∞,0].5.(2016·湖北龙泉中学、宜昌一中联考)已知函数f(x)=xetx-ex+1,其中t∈R,e是自然对数的底数.若方程f(x)=1无实数根,则实数t的取值范围为()A.B.C.D.5.B【解析】由f(x)=1得xetx=ex,即x=ex(1-t)>0,∴f(x)=1无负实根,故有=1-t.令g(x)=,则g'(x)=,由g'(x)>0得0
e,∴g(x)在(0,e)内单调递增,g(x)在(e,+∞)上单调递减,∴g(x)max=g(e)=,∴g(x)的值域为.要使得方程f(x)=1无实数根,则1-t>,即t<1-.6.若函数f(x)=-eax(a>0,b>0)的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切,则a+b的最大值是()A.4B.2C.2D.6.D【解析】由f(x)=-eax(a>0,b>0)得f'(x)=-eax,因为当x=0时,f(x)=-,所以切点为,k=-,故切线方程为y+=-x,即ax+by+1=0.由于切线与圆x2+y2=1相切,所以d==1即a2+b2=1,所以,即a+b≤(当且仅当a=b时等号成立).二、填空题(每小题5分,共15分)7.若函数f(x)=在x=1处取极值,则a=.7.3【解析】f'(x)=,由f(x)在x=1处取得极值知f'(1)=0,解得a=3.8.(广东汕头金山中学期中考试)已知函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx,则函数f(x)在a>2时的单调递增区间为.8.(0,1)和【解析】由f(x)=x2-(a+2)x+alnx可知,函数的定义域为{x|x>0},且f'(x)=2x-(a+2)+,因为a>2,所以当00,故f(x)的单调递增区间为(0,1)和.9.(2015·西北师大附中三诊)已知函数f(x)=x3+ax2+2bx+c有两个极值点x1,x2,且-10,所以f(x)在(0,+∞)单调递增.若a>0,则当x∈时,f'(x)>0;当x∈时,f'(x)<0,所以f(x)在单调递增,在单调递减.(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)无最大值;当a>0时,f(x)在x=取得最大值,最大值为f=ln+a=-lna+a-1.因此f>2a-2,等价于lna+a-1<0.令g(a)=lna+a-1,则g(a)在(0,+∞)单调递增,g(1)=0.于是,当01时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).[高考冲关]1.(5分)(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)1.A【解析】当x>0时,'=<0,故函数g(x)=在区间(0,+∞)递减,又函数f(x)为奇函数,故函数g(x)为偶函数,因为f(-1)=0,所以f(1)=...
