中点模型的构造、等积模型

几何综合题型一：中点模型的构造中点模型① 中线（点）：倍长（类）中线② 两中点：中位线③ 等腰三角形底边中点：三线合一④ 直角三角形斜边中点：斜边中线=斜边一半构造两等腰⑤ 中垂线：中垂线上的点连两端点有些题目的中点没有直接给出，此时需要挖掘题目中隐含的中点条件，并适时添加辅助线． 典题精练【例1】 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 M 为边 AD 的中点，过点 C 作 AB 的垂线交 AB 于点 E，若∠EMD = 3∠MEA．求证：BC=2AB．KijvG。【解析】证法一：如右图（a），延长 EM 交 CD 的长线于点，连结 CM AB∥CD，∴∠ME'D =∠MEA ．又 AM = DM ，∠AME =∠DME' ∴△AFM ≌△．∴EM = AB∥CD，CE⊥AB，∴EC⊥CD．∴CM 是 Rt△斜边的中线，∴=MC．∴，∴∠EMC = 2= 2∠AEM ． ∠EMD =3∠MEA，∴∠CMD =∠DCM，∴MD = CD ． AD = 2DM，AB = CD ，AD = BC，∴BC = 2AB ．证法二：如右图(b)，过点 M 作交 BC 于，过点作交 AB 的延长线于点，连接．∴ 点是的 中 点 ，，，， 点是 Rt△EBC 斜边 BC 的中点，∴，∴．∴．(a)E’MEABCD(b)M’E’MEABCD ∠EMD = 3∠MEA，∴，∴∴，．∴．∴,∴．∴BC = 2AB．【例2】 如图所示，分别以△ABC 的边 AB、AC 为边，向三角形的外侧作正方形 ABDE 和正方形 ACFG，点 M 为 BC 中点，Br7EM。⑴ 求证：AM⊥EG ；⑵ 求证：EG = 2AM．GFEDCBAM【解析】⑴ 如图所示，延长 AM 到 N，使 MN = AM,延长 MA 交 EG 于点 P，连接 BN、NC． BM = CM，∴四边形 ABNC 是平行四边形．∴BN = AC = AG． ∠EAG +∠BAC = ， ∠ABN +∠BAC = ，∴∠EAG =∠ABN． AE = AB，∴△EAG≌△ABN．∴∠AEG =∠BAN．又 ∠EAB = ，∴∠EAP +∠BAN = ．∴∠AEP +∠EAP = ．∴MA⊥EG．⑵ 证明： △EAG≌△ABN，∴EG = AN = 2AM．题型二：平移及等积变换典题精练【例3】 已知：如图，正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，FG⊥DE 于点 H．⑴ 求证：FG = DE．⑵ 求证：FD + BG ≥． PABCDEFGH【解析】延长 GC 到点 P，使得 GP = DF，连接 EP，DP．⑴ DF∥GP，GP = DF∴四边形 DFGP 为平行四边形NPMABCDEFG∴FG = DP，FG∥DP又 FG⊥DE，∴DP⊥DE∴∠ADE =∠CDP在△ADE 和△CDP 中∴△ADE≌△CDP∴DE = DP = FG⑵ 由⑴知道△DEP 为等腰直角三角形...