六点对称法,ADI 法,预校法,和 LOD法解二维抛物线方程(17 页)Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。 偏微分数值解法实验报告 实验名称： 六点对称格式， ADI 法，预校法， LOD 法解二维抛物线 方程的初值问题实验成员 ： 吴兴 杨敏 姚荣华 于潇龙 余凡 郑永亮 实验日期： 2025 年 5 月 17 日 指导老师：张建松一、 实验内容用六点对称格式，ADI 法，预校法和 LOD 法求解二维抛物线方程的初值问题：已知（精确解为：）设差分解为，则边值条件为：初值条件为：取空间步长，时间步长网比。1: ADI 法：由第 n 层到第 n+1 层计算分成两步：先先第 n 层到 n+1/2 层，对uxx 用向后差分逼近，对 uyy 用向前差分逼近，对 uyy 用向后差分逼近，于是得到了如下格式：其中 j,k=1,2,…,M-1,n=0,1,2,…,上标 n+1/2 表示在 t=tn+1/2+(n+1/2)取值。假定第 n 层的已求得，则由（1）求出，再由（2）求出。2:预-校法差分格式： 先通过 U 的 n 层求解 U 的 n+1/4 层，在通过 U 的 n+1/4 层求 U 的n 的 n+1/2 层，最后通过 U 的 n+1/2 层求解 U 的 n+1 层，下为计算的预算格式：3:LOD 算法：由第 n 层到第 n+1 层计算分为两步：（1）第一步： ，构造出差分格式为：（2）第 二 步 ：， 构 造出差分格式为：其中。假 定 第 n 层 的已 求 得 ， 则 由求 出， 这 只 需 按 行解一些具有三对角系数矩阵的方程组；再由求出，这只需按列解一些具有三对角系数矩阵的方程组，所以计算时容易实现的。4:六点对称格式： 将向前差分格式和向后差分格式做算术平均，即可以得到得六点对称格式：二、程序代码1: ADI 法：%交替方向差分格式 ADIclcx_a=0; x_b=1;%x 的区间端点y_a=0; y_b=1;%y 的区间端点N=40;%控制空间区域划分h=1/N;%空间步长x=[x_a:h:x_b];y=[y_a:h:y_b];T=1600;tao=1/T;%时间步长r=tao/(h^2);%网比a=1/16;U=ones(N+1,N+1);%迭代矩阵%按题意将边界点的值取为 0for j=1:N+1 U(1,j)=0; U(N+1,j)=0;end%初值条件for i=2:N for j=1:N+1 U(i,j)=sin(pi*x(i))*cos(pi*y(j)); endend%差分格式方程组的系数矩阵diag_0=(1+r*a)*ones(N-1,1);diag_1=(-r*a/2)*ones(N-2,1)';A=diag(diag_0)+diag(diag_1,1)+diag(diag_1,-1);%组装系数矩阵A2=zeros(N+1);A2(2:N,2:N)=A;A2(1,1)=1;A2(N+1,N+1)=1;A2(1,2)=-1;A2(N+1,N)=-1;A2(2,1...
