初中数学全等三角形辅助线技巧

初中数学全等三角形辅助线技巧(14 页)Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。 例 1：如图，ΔABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC 交 AC于点 D，CE 垂直于 BD，交 BD 的延长线于点 E。求证：BD=2CE。思路分析：1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用2）解题思路：要求证 BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有 BD 平分∠ABC 的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。解答过程：证明：延长 BA，CE 交于点 F，在 ΔBEF 和 ΔBEC 中， ∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而 CF=2CE。又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。在 ΔABD 和 ΔACF 中， ∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。解题后的思考：等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为同学们开拓了一个宽阔的探究空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的关键。 （2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。例 2：如图，已知 ΔABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 又是 BC 边上的中线。求证：ΔABC 是等腰三角形。 思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。2）解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了 AD 又是 BC 边上的中线这一条件，而且要求证 AB=AC，可倍长 AD 得全等三角形，从而问题得证。解答过程： 证明：延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE。又因为 AD 是 BC 边上的中线，∴BD=DC又∠BDE=∠CDAΔBED≌ΔCAD，故 EB=AC，∠E=∠2， AD 是∠BAC 的平分线∴∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，从而 AB=AC，即 ΔABC 是等腰三角形。解题后的思考：题目中假如出现了三角形的中线，常加倍延长此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。 （3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。例 3：已知，如图，AC 平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。求证：∠B+∠ADC=180°。思路分析：1...