北大计算机系考研_历年高等数学真题附答案(15 页)Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。北大计算机考研 高等数学真题解答2025 年（5 题 60 分）1 （12 分）有连续的二阶导数，，求。2 （12 分）在上连续且，，证明：在上必有一点使得。3 （12 分）求不定积分。4 （12 分）且，有连续的导数，求。5 （12 分）在附近可导且导数大于 0，证明无穷级数发散，无穷级数收敛。2025 年（5 题 60 分）1 （12 分）求不定积分。解：。2 （12 分）求连续函数，使它满足。解：令则时，，时，，；。3 （12 分）设。证明：和都存在并相等。解：；单调递减；单调递增；由以上两结论可知：有下界，于是存在；有上界，于是存在。令，由有：解得，所以。4 （12 分）求和。解：（1） 若，；（2） 若，。5 （12 分）求极限。。2025 年（5 题 60 分）1 （12 分）计算积分。解：。2 （12 分）求。解：时，；时，，；时，，；所以：。3 （12 分）设，证明不等式。证：时，令，有；则，有；，所以上单调递增，又，所以，可知上单调递增，又，所以，即。4 （12 分）求幂级数的收敛域与和函数。解：求收敛半径：，当时级数收敛，当时级数发散，所以收敛半径。当时，显然发散，所以收敛域。求和函数：；；所以：；。5 （12 分）设连续，在处可导，且。求。解：令；2025 年（7 题 70 分）1 （8 分）求。解：2 （10 分）设，求。解：等式两边对求导得：，化简得（是确定的隐函数）；再次对求导得，将代入得：（是确定的隐函数）。3 （8 分×2）求下列不定积分：（1） ；（2） 。解：（1） 。（2） 4 （8 分）求，其中 n 为自然数。解：令，则，；。5 （8 分）若，试证：。证：时，。时，由拉格朗日中值定理易知：，使得：；显然是单调递增函数，故，即，所以有。6 （10 分）求。解：令。则7 （10 分）设曲线上的非负连续函数，表示由所围成的图形绕直线旋转而成的旋转体的体积。试证明：。证：取轴为积分坐标，的变化范围为。轴上对应的一小段旋转柱体可近似展开成矩形薄板，宽为点绕直线旋转得到的圆周长，高为，厚为，故。所以。于是，。2025 年（6 题 50 分）1 （6 分）求。解：。2 （8 分）设，，求。解：时：；时：；时：。3 （8 分）求，其中是非负整数，先建立递推公式，然后求定积分的值。解：4 （8 分）求的和。解：（）5 （10 分）设。（1） 证明数列...
