§5.2平面向量的数量积及其应用考点二数量积的综合应用20.(2012江西,7,5分)在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则=()A.2B.4C.5D.10答案D解法一:以C为原点,CA,CB所在直线为x,y轴建立直角坐标系.设A(a,0),B(0,b),则D,P.从而|PA|2+|PB|2=+=(a2+b2)=10|PC|2,故选D.解法二:-=,且+=2,两式平方相加得2+2=+4=4+4=20,故选D.解法三:由平行四边形性质得2(+)=+(2)2=4+4=20,故选D.评析本题考查向量的运算和平行四边形性质.考查了数形结合思想和化归与转化思想,以及推理论证能力和应用意识.21.(2013福建,7,5分)在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为()A.B.2C.5D.10答案C·=(1,2)·(-4,2)=0,故⊥.故四边形ABCD的对角线互相垂直,面积S=·||·||=××2=5,选C.评析本题考查向量的坐标运算和数量积的应用,考查学生的运算求解及观察能力,能否得出与互相垂直是解决本题的关键.22.(2012湖南,7,5分)在△ABC中,AB=2,AC=3,·=1,则BC=()A.B.C.2D.答案A∵·=·(-)=·-=1,∴·=5,即2×3cosA=5,∴cosA=.由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA=3,∴BC=,故选A.评析本题考查了向量的基本运算和解三角形.把向量、作为基底,进而得出cosA=是解题的关键.23.(2013江西,12,5分)设e1,e2为单位向量,且e1,e2的夹角为,若a=e1+3e2,b=2e1,则向量a在b方向上的射影为.答案解析向量a在b方向上的射影为|a|·cos
=,又a·b=(e1+3e2)·2e1=2+6e1·e2=2+6×=5,|b|=|2e1|=2,∴|a|·cos=.24.(2013课标全国Ⅰ,13,5分)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t=.答案2解析解法一:∵b·c=0,∴b·[ta+(1-t)b]=0,ta·b+(1-t)·b2=0,又∵|a|=|b|=1,=60°,∴t+1-t=0,t=2.解法二:由t+(1-t)=1知向量a、b、c的终点A、B、C共线,在平面直角坐标系中设a=(1,0),b=,则c=.把a、b、c的坐标代入c=ta+(1-t)b,得t=2.25.(2013山东,15,4分)已知向量与的夹角为120°,且||=3,||=2.若=λ+,且⊥,则实数λ的值为.答案解析∵⊥,∴·=0,∴(λ+)·=0,即(λ+)·(-)=λ·-λ+-·=0.∵向量与的夹角为120°,||=3,||=2,∴(λ-1)||||·cos120°-9λ+4=0,解得λ=.
