希尔伯特几何公理佛山石门中学 高二（2） 邓乐涛一、符号及一些说明有三组不同的对象：点，直线，平面点用 A,B,C,D……来表示；直线用 a,b,c,d……来表示；平面用 α,β,γ,δ……来表示。点称为直线几何的元素，点和直线称为平面几何的元素，点、直线和平面称为立体几何的元素那么点，几何元素之间又有一定的相互关系① 点 A 在直线 a 上：② 点 A 在平面 α 上：③ 直线 a 在平面 α 上：（直线的每一点都在平面上）④ 点 B 在点 A 与点 C 之间：（我自己规定的符号）⑤ 线段 AB 与 CD 相等：（原书是用号的，不过对于我们不常见，所以我用了=号）⑥与相等：等等……（线段，角之类的能在点线面下给出定义，具体在叙述公理的时候再说）在希尔伯特几何里面，其实点直线和平面是三个未定义的数学对象，在上面给的最基本的关系也是没有定义的，也就是说用什么来代表这些东西都是可以的，正如希尔伯特所说“我们必定可以用‘桌子、椅子、啤酒杯’来代替‘点、线、面’”。 最简 单 的 例 子 就 是 解 析 几 何 ： 我 们 定 义 点 是 实 数 对 (x,y) ， 定 义 线 是，其实在这个定义下，“几何”已经失去了“直观”的形式了，因为在这个定义下的几何图形就变成了毫无几何直观的数字了，只是我们方便讨论又将它画在了坐标系中而已。我这里的关系符号，，并不来自于集合论，不要混淆，要再强调的是他们本身没有含义，我只是借用过来化简论述罢了。总之，希尔伯特几何，就是将直观地几何语言（欧氏几何）抽象成了逻辑语言，我们所有的几何定理都可以用逻辑推理得到。（其实希尔伯特几何就是完备化的欧氏几何）公理 I 关联公理本组公理有八条，是前面所提的点，直线，平面这三组对象之间建立的一种联系：（为了方便论述，以后说二、三……点的，直线或平面是，都是指不同的点，直线或平面）I1：对于两点 A 和 B，恒有一直线 a，使得（存在性）；I2：对于两点 A 和 B，至多有一直线 a，使得（唯一性）；（对于 1,2，我们可以说两点确定一直线）I3：一直线上至少有两点，至少有三点不在同一直线上；I4：对于不在同一直线的三点 A,B 和 C，恒有一平面 α，使得；（存在性）对于任一平面 ，恒有一点 A，使得；I5：对于不在同一直线的三点 A,B 和 C，至多有一平面 α，使得；（唯一性）（对于 4,5，我们可以说三点确定一平面）I6：若且，则；I7：若两平面有一个公共点 A，...
