常微分方程与差分方程解法归纳(10 页)Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。常微分方程解法归纳1. 一阶微分方程部分① 可分离变量方程（分离变量法）假如一阶微分方程中的二元函数可表示为的形式，我们称为可分离变量的方程。对于这类方程的求解我们首先将其分离变量为的形式，再对此式两边积分得到从而解出的解，其中 C 为任意常数。具体例子可参考书本 P10—P11 的例题。② 一阶线性齐次、非齐次方程（常数变易法） 假如一阶微分方程中的二元函数可表示为的形式，我们称由此形成的微分方程为一阶线性微分方程，特别地，当时我们称其为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性非齐次微分方程。对于这类方程的解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程，这是可分离变量的方程，两边积分即可得到，其中 C 为任意常数。这也是一阶线性非齐次微分方程的特别情况，两者的解存在着对应关系，设来替换 C，于是一阶线性非齐次微分方程存在着形如的解。将其代入我们就可得到这其实也就是，再对其两边积分得，于是将其回代入即得一阶线性微分方程的通解。具体例子可参照书本 P16—P17 的例题。③ 一阶齐次型微分方程（变量代换）假如一阶微分方程中的二元函数满足对于一切非零实数都有等式成立，我们称一阶微分方程为一阶齐次型微分方程。对于此类微分方程的解法，我们一般利用变量代换的方法将其化为一阶可分离变量的方程然后再相应求解。事实上，假如我们令于是。于是一阶齐次型微分方程可表示为然后令将其化为一阶可分离变量微分方程。具体过程如下：令，代入方程可得也就是，它的通解是易求得的，求出它的通解之后将回代就可得到一阶齐次型微分方程的通解。当然，有时候我们令于是。于是一阶齐次型微分方程可表示为也就是此时令，代入方程可得然后再依次求解。有时候后者的代换方法会更简洁，当然两者的解法本质上是没有区别的，具体求解时可以灵活地运用。具体例子可参看书本 P20—P22 的例题。④ 伯努利方程（变量代换）假如一阶微分方程中的二元函数满足等式，我们就称由此形成的微分方程为伯努利方程。对于此类方程的求解，我们可以通过变量替换将其转化为一阶线性微分方程求解。我们可以在方程两边同除以，可以将方程变形为即。我们令，于是方程即利用一阶线性微分方程的通解可得的通解，再将回代就得到了伯努利方程的通解。具体例子可参照书本 P22—P23 的例题。⑤ 变量代换方法的应用----其他类型的...
