平移、旋转、对称变换在几何难题中的应用

平移、旋转、对称变换在几何难题中的应用(3 页)Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。1 平移变换 把图形中的某一个线段或者一个角移动到一个新的位置，使图形中分散的条件紧密地结合到一起。一般有 2 种方法： 1.平移已知条件 2.平移所求问题，把所求问题转化，其实就是逆向证明。几何题多数都是逆向思考的。例 1 在三角形 ABC 中，BD=CE,求证：AB+AC 大于 AD+AE。这是典型的平移条件问题。解：我们把三角形 AEC 平移到如图所示的 FBD 位置。这里用了 BD=EC 的条件 。设 AB 与 FD 交于 P 这样，容易构造两个全等的三角形 AEC,FBD 由于 PA+PD 大于 AD PF+PB 大于 BF 两式相加 PA+PB+PD+PF 大于 AD+BF 又因为 BF= AE，AC= FD所以 AB+AC 大于 AD+AE例 2线段 AB 与线段 CD 交于 O, AB=CD=1 且角 BOD=60,求证:AC+BD≥1解：假如证明不等的话，毫无疑问，题目要扯到三角形的性质上面来。三角形的两边之和大于第三边，我们用的就是这个。 下面考虑怎么进行平移。平移的关键就是要把分散的条件集中。所以我们把 AC 平移到如图的 BE 位置，可以构造一个平行四边形（黄色部分）。 所以，AC=BE ,这一步就是把AC 移向一个新的位置， 这样，在三角形 DBE 中，DB+BE 大于 DE.由于平行，可以导出 DCE=60,又知道 CE= AB = CD =1。所以△CDE 是等边三角形， DE=1。 这样，利用 DB+BE 大于 DE,可证明AC+BD＞1，当 AC 平行于 DB 的时候，可以取等号。2.旋转变换 把平面图形绕旋转中心,旋转一个定角，使分散的条件集中在一起. 在遇到关于等腰三角形、正三角形、正方形等问题时,是常常用到的思维途径.例 1如图,等腰直角三角形 ABC 中,AB=AC,∠A=90,M,N 为斜边 BC 上两点且∠MAN=45,求证:BM^2+CN^2=MN^2解：要证 BM^2+CN^2=MN^2,容易想到勾股定理.但是 BM,CN,MN 都不在同一个三角形上,所以,我们就设法将 BM,CN,MN 移到同一三角形上。考虑到△ABC 是等腰三角形，且是直角三角形，将△ABM 绕点 A 逆时针旋转 90.使 AB 与 AC 重合.得到△ACD ，则△NCD 为直角三角形 只需证明 MN=ND 即可 因为∠MAN=45,所以∠BAM+∠NAC=45 ，即∠NAD=45又因为 AM=AD所以△AND≌△AMN 所以 MN=ND，在直角△NDC 中，有 ND^2=NC^2+DC^2，所以 BM^2+CN^2=MN^2例 2O 是等边三角形 ABC 内一点，已知∠AOB=115, ∠BOC=125, 求由线段 OA, ...