有关数学的学习方法最近翻閱日本《Mathematicalseminare》，5-1979，pp.68-85，發現了非數學本科的人，報導他們對數學的看法，以及他們所用到的數學，對數學學習方法等等。我以為數學這一門為一般學生所畏懼，為現實社會所冷淡，也為一般人所不易理解數學是什麼的今天，似乎可借助於這些非數學專家們，在數學領域中所獲得的經驗與觀點，傳播給讀者參考，或許能收些許助益，並開拓其視野。下面大都是翻譯的資料。為物理學而學的數學(坪井忠二(TuboeChuej)，東京大學名譽教授)做為手段的數學:進入自然科學系的人，或想進這些系的人，大概不少。因此這些人，對於數學就各有其目的，其中欲為數學本身繼續研究，有志為數學家的人，也必定會有，這些人當然就以數學為目的直走，但為數並不多，大部分的人大概都不以數學本身為目的，可說只把數學當做謀求自己工作之發展的一手段而已。如同學習外國語之目的相似，那些已進入自然科學界的，以及準備想進去的，是為英語去讀英語，至於英語學或英文學並不是其本身的目的，求取將來以英語寫成的自然科學書籍或論文，能毫無不自由地閱讀，同時自己也可用英語寫些報告或論文，或能與做同方面學問之外國人交談為目的，他們就不是以學英語本身為目的，而是當做一種手段而已。要這麼說，目的與手段似乎無太嚴密的區別。在學習過程中，用手段使用數學的內容，可能也會浮起興趣來，而原以數學本身為目的的人，也可能對應用方面浮起興趣，以致原欲做為目的的數學，及做為手段的數學都變成無法區別，而混為一體了。舉個可能稍為誇大之例，如牛頓在思考萬有引力時，看來是位物理學家，而在以微積分之創始者來說，那是位數學家，硬是把他分做數學家或物理學家，實際上並無多大意義。這些我們暫且忘了它不提，只以多數人使用數學做為其手段者，來進行我們的話題。數學表現的物理學意義:如果說以使用數學當做手段，其道具之長處與優點，就須充分瞭解。因而對此道具要如何使用，就非得熟練不可。以用數學做為手段的人，讀數學時是學習如何使用為其主要目的。所謂使用法，如以研究物理學的人，他就很會將物理學與數學結合在一起，於是他對於在什麼範圍內，有可能結合;超過了那個範圍，則不可能結合，必須要有充分的瞭解，否則他所得的「數學」也就止於演習而已，與物理學就毫無關連了。為了要理解物理學現象，必須要能以使用數學做為手段，同時也得不忘物理學思考之發展。在物理學中，常常會出現種種數學的表現，但對於其物理意義(physicalmeaning)則非時常反省不可。說「這些結果，是由計算機算出來的，絕不可能有錯誤」的人是有的，計算機的數值計算即使無誤，但計算機程式的想法或設計若有誤，則以此錯誤的程式命令計算機「算算這個」，其結果當然定是錯的。故不管你使用多高級的「數學」，若其用法不當，其結果也就無意義了。與之相反的，一件好像是簡單的「數學」但與物理學結合得好，則會產生很深奧的結果。例如在數學來說，那只不過是極為簡單之二階微分方程式，但它卻是牛頓的壯大堂皇的學理基礎。公式f=ma可寫成更一般的形式為y=ax這是x與y的一次式。這個式子卻是表示種種物理事象的關係式。比方說：a為物體運動時之定速度，x視為時間，則y就是其移動的距雕。若a視為利率，x為期間，則y為此期間所得到的利息。又當a為彈性係數時，x為微小的彎曲，則y為此時所產生的張力(stress)。要是a為鐵絲的線密度，x為其長度，則y為鐵絲全體的重量，…。不管x是代表時間、期間、彎曲或線長度，上式都能成立，也就是說x可表任何東西，說大些，這是數學所與的光榮。但在物理學中就不那樣廣泛，它只是x所表示何物之問題而已。這就是以數學的數學，以手段之數學有所不同之處。另一方面再回到之式子來看。d2x/dt2在x-t坐標所畫之曲線中，它不外乎表其彎曲度，即斜率之變化率而已。畫出曲線時，彎度較大的，就具有較大的力量，d2x/dt2>0則其力f為正，此時曲線是向上凹，表示力是向上的意思。這種曲線的曲率是掌握著力的大小與方向。再舉個簡單的例子，如數式寫成則為並聯電阻的關係式。如果寫成則為凸鏡像之位置與焦點距離之式。如圖，若f與u給定，則v之值馬上可求得，此...
