2026中考人教九年级数学上册基础夯实讲练-专题21.14 一元二次方程根与系数关系（知识讲解）（附名师详解）

专题 21.14 一元二次方程根与系数关系（知识讲解）【学习目标】掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02acbxax的两个实数根是21xx ，，那么abxx21，acxx21.注意它的使用条件为 a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用【典型例题】类型一、由根与系数关系直接求值1．已知 x1，x2是一元二次方程 x2－3x－1＝0 的两根，不解方程求下列各式的值：（1） （2）【答案】（1）11；（2） －3．【分析】由一元二次方程的根与系数的关系可得；（1）将所求式子变形为(x1＋x2)2－2x1x2 ，然后整体代入上面两个式子计算即可；（2）将所求式子变形为，然后整体代入上面两个式子计算即可．解： x1，x2是一元二次方程 x2－3x－1＝0 的两根，∴，（1）＝ (x1＋x2)2－2x1x2 ＝32－2×(－1)＝11；（2）．【点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于基本题目，熟练掌握一元二次方程的两根之和与两根之积与系数的关系是解题关键．举一反三：【变式 1】利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）【分析】直接运用一元二次方程根与系数的关系求解即可．解：（1）这里．，∴方程有两个实数根．设方程的两个实数根是，那么．（2）这里．，∴方程有两个实数根．设方程的两个实数根是，那么．【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知是解题的关键．【变式 2】 甲、乙两人同解一个二次项系数为 1 的一元二次方程，甲抄错了常数项，解得两根分别为 3 和 2，乙抄错了一次项系数，解得两根分别为－5 和－1，求原来的方程.【答案】【分析】解法一：利用甲乙解出的根，可以得出两个一元二次方程，取甲方程的一次项系数，取乙方程的常数项，即可重新组合出原来正确的方程．解法二：利用根与系数的关系，取甲方程的一次项系数，取乙方程的常数项，即可重新组合出原来正确的方程．解：解法一：设原一元二次方程为，代入甲解出的两根 3、2 得 ，解得，因为甲抄错常数项，所以取同理，代入乙解出的两根－5 和－1，可得，而乙抄错了常数项，所以取，综上可得原方程为解法二：甲...