切线长定理1．（2025•绵阳三模）如图，是的直径，，是的两条切线，点，为切点，延长，相交于点，若，，点为弧的中点，连接．（1）连接交于点，求证：；（2）设，求的值；（3）若点与点关于圆心对称，连接，求的长．2．（2025•肇东市校级二模）如图，点在以为直径的上，过作的切线交延长线于点，于点，交于点，连接，． （1）求证：；（2）求证：；（3）若，，求的长．3．（2025•东莞市校级二模）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．小明决定研究一下圆，如图，是的直径，点是上的一点，延长至点，连接、、，且，过点作于点．（1）求证：是的切线；（2）若，求证：点是的中点；（3）在（2）的条件下，若点是上一点（不与、、重合），求的值．4．（2025•利川市一模）如图，在中，，以为直径的与边交于点，过点作于点．（1）求证：是的切线；（2）若与相交于点，连接，求证：；（3）若，求证：．5．（2024•梁子湖区校级自主招生）等腰直角和如图放置，已知，，的半径为 1，圆心与直线的距离为 5．现以每秒 2 个单位的速度向右移动，同时的边长、又以每秒 0.5 个单位沿、方向增大．（1）当的边边除外）与圆第一次相切时，点移动了多少距离？（2）若在移动的同时，也以每秒 1 个单位的速度向右移动，则从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间？（3）在（2）的条件下，是否存在某一时刻，与的公共部分等于的面积？若存在，求出恰好符合条件时两个图形移动了多少时间？若不存在，请说明理由．6．（2009•肇庆）如图，的直径，和是它的两条切线，切于，交于，交于．设，．（1）求证：；（2）求关于 的关系式；（3）求四边形的面积，并证明：．7．（2007 秋 张家港市期末）•如图，中，，以为直径的与边交于点，过点作的切线，交于点；（1）求证：；（2）若以、、、为顶点的四边形是正方形，的半径为 ，求的面积；（3）若，，求的半径的长．8．（2007•河池）如图 1，已知正方形的边长为，点是的中点，是线段上的一动点不与，重合），以为直径作，过点作的切线交于点，切点为．（1）除正方形的四边和中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）；（2）求四边形的周长；（3）延长，相交于点，如图 2 所示．是否存在点，使？如果存在，试求此时的长；如果不存在，请说明理由．9．（2007•厦门）已知：如图，、是的切线；、是切点；连接、、，（1）若，求的度数；（2）过作...
