不等式选讲知识点一、不等式与绝对值不等式1.不等式得基本性质2.基本不等式（1），（当且仅当时取“”号）、 变形公式：。（2）（基本不等式） ，（当且仅当时取“”号）、 变形公式： 。3.三个正数得算术—几何平均不等式（1）假如，那么，当且仅当时，等号成立。（2）推广：假如为个正数，则，当且仅当时，等号成立。4.绝对值三角不等式（1）假如就是实数，则，当且仅当时，等号成立。（2）假如就是实数，那么，当且仅当时，等号成立。5.绝对值不等式得解法一般地，当时，有：，因此不等式得解集就是；， 因 此 ， 不 等 式得 解 集 就 是；。二、证明不等式得基本方法1.比较法（1）作差法（2）作商法2.综合法3.分析法4.反证法5.放缩法三、柯西不等式与排序不等式1.二维形式得柯西不等式（1）一般形式：设，为实数，则，当且仅当，或存在一个实数，使得时，等号成立。（2）二维形式得柯西不等式①代数形式：设均为实数，则。上式等号成立②向量形式：设为平面上得两个向量，则。当且仅当就是零向量或存在实数使得时，等号成立。③三角形式：设，则，其几何意义就是三角形得两边之与大于第三边。注意：应用柯西不等式求解时，根据“一瞧、二构造、三推断、四运用”2.排序不等式 设，为两组实数、就是得任一排列，则，（反序与乱序与顺序与），当且仅当或时，反序与等于顺序与、四、数学归纳法证明不等式1.数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数得所有正整数都成立时，可 以 用 一 下 两 个 步 骤 ： （ 1 ） 证 明 当时 命 题 成 立 ； （ 2 ） 假 设时命题成立，证明时命题成立。完成以上两个步骤后，就可以断定命题对于不小于得所有正整数都成立。2.贝努力不等式假 如就 是 实 数 ， 且，，为 大 于得 自 然 数 ， 那 么 有。典型例题例 1、已知，比较与得大小。变式 1-1、已知，，，试比较得大小。例 2、（1）已知：，求得范围；（2）已知：，，求得范围。变式 2-1、若二次函数得图象过原点，且，，求得范围。例 3、若，，。求证：（1）；（2）变式 3-1、已知，求证：。例 4、已知，且，求证：。变式 4-1、设，求证：。例 5、（1）已知，且，求得最小值。（2）已知，且，求得最大值。例 6、（1）求函数得最大值；变式 6-1、求函数得最小值。例 7、设，求证：。变 式7-1 、 已 知就 是 三 角 形 得 三 边 长 ， 求 证 ：。例 8、已知，试...
