微点深化 立体几何中的轨迹与折叠问题1.运动变化中的轨迹问题的实质是寻求运动变化过程中的所有情况，发现动点的运动规律.2.将平面图形沿其中一条或几条线段折起，使其成为空间图形，这类问题称为立体几何中的折叠问题，折叠问题常与空间中的平行、垂直以及空间角相结合命题，考查学生的空间想象力和分析问题的能力.热点一 以立体图形为载体的轨迹问题【例 1】 (1)已知在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，AA1与平面 A1B1C1D1垂直，且 AD＝AB，E 为CC1的中点，P 在对角面 BB1D1D 所在平面内运动，若 EP 与 AC 成 30°角，则点 P 的轨迹为( )A.圆 B.抛物线C.双曲线 D.椭圆(2)(2018·宁波期中)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，点 P 是平面 AC 内的动点， 若点 P 到直线 A1D1的距离等于点 P 到直线 CD 的距离，则动点 P 的轨迹所在的曲线是( )A.抛物线 B.双曲线C.椭圆 D.直线解析 (1)因为在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，AA1与平面 A1B1C1D1垂直，且 AD＝AB，所以该平面六面体 ABCD-A1B1C1D1 是一个底面为菱形的直四棱柱，所以对角面 BB1D1D⊥底面ABCD，AC⊥对角面 BB1D1D.取 AA1的中点 F，则 EF∥AC，因为 EP 与 AC 成 30°角，所以 EP 与EF 成 30°角.设 EF 与对角面 BB1D1D 的交点为 O，则 EO⊥对角面 BB1D1D，所以点 P 的轨迹是以 EO 为轴的一个圆锥的底面，故选 A.(2)如图，以 A 为原点，AB 为 x 轴、AD 为 y 轴，建立平面直角坐标系.设 P(x，y)，作 PE⊥AD 于 E、PF⊥A1D1于 F，连接 EF，易知|PF|2＝|PE|2＋|EF|2＝x2＋1，又作 PN⊥CD 于 N，则|PN|＝|y－1|.依题意|PF|＝|PN|，即＝|y－1|，化简得 x2－y2＋2y＝0，故动点 P 的轨迹为双曲线，选 B.答案 (1)A (2)B探究提高 研究立体几何中点的轨迹问题一般先将问题平面化，将问题转化为两平面或曲线的交线，或者直接用平面解析几何知识如圆锥曲线的定义或建系去处理.【题组训练 1】(1)(2018·绍兴质检)如图，若三棱锥 ABCD 的侧面 ABC 内一动点 P 到底面 BCD 的距离与到点 A 的距离之比为正常数 λ，且动点 P 的轨迹是抛物线，则二面角ABCD 的平面角的余弦值为( )A.λ B. C. D.解析 由题意知，动点 P 的轨迹是以点 A 为焦点，直线 BC 为准线的抛物线，设点 P 在底面 BCD 内的投影为点 H，二面角 ABCD 的平面角的大小为 θ，点 P 到直线 BC 的距离为 d，...
