第 2 讲 数列求和及综合应用高考定位 数列求和主要考查通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；数列的综合问题是高考考查的热点，主要考查数列与其他知识的交汇问题.真 题 感 悟 (2018·浙江卷)已知等比数列{an}的公比 q>1，且 a3＋a4＋a5＝28，a4＋2 是 a3，a5的等差中项.数列{bn}满足 b1＝1，数列{(bn＋1－bn)an}的前 n 项和为 2n2＋n.(1)求 q 的值；(2)求数列{bn}的通项公式.解 (1)由 a4＋2 是 a3，a5的等差中项得 a3＋a5＝2a4＋4，所以 a3＋a4＋a5＝3a4＋4＝28，解得 a4＝8.由 a3＋a5＝20 得 8＝20，解得 q＝2 或 q＝，因为 q>1，所以 q＝2.(2)设 cn＝(bn＋1－bn)an，数列{cn}前 n 项和为 Sn.由 cn＝解得 cn＝4n－1.由(1)可知 an＝2n－1，所以 bn＋1－bn＝(4n－1)·，故 bn－bn－1＝(4n－5)·，n≥2，bn－b1＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1)＝(4n－5)·＋(4n－9)·＋…＋7·＋3.设 Tn＝3＋7·＋11·＋…＋(4n－5)·，n≥2，Tn＝3·＋7·＋…＋(4n－9)·＋(4n－5)·，所以 Tn＝3＋4·＋4·＋…＋4·－·，因此 Tn＝14－(4n＋3)·，n≥2，又 b1＝1，所以 bn＝15－(4n＋3)·，n≥2，又 b1＝1 也适合上式，所以 bn＝15－(4n＋3)·.考 点 整 合1.数列求和常用方法(1)分组转化求和：把数列的每一项拆成两项(或多项)，再重新组合成两个(或多个)简单的数列，最后分别求和.(2)错位相减法：适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列.把Sn＝a1＋a2＋…＋an两边同乘以相应等比数列的公比 q，得到 qSn＝a1q＋a2q＋…＋anq，两式错位相减即可求出 Sn.(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中{an}是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列.2.数列中的不等式问题主要有证明数列不等式、比较大小或恒成立问题，解决方法如下：(1)利用数列(或函数)的单调性；(2)放缩法：①先求和后放缩；②先放缩后求和，包括放缩后成等差(或等比)数列再求和，或者放缩后成等差比数列再求和，或者放缩后裂项相消法求和；(3)数学归纳法.3.数列与不等式的综合问题主要题型为：证明不等式，或不等式恒成立问题，转化为最值问题是其主要思路，而求最值常用方法为：①作差比较，利用数列单调性求最值；②放缩法求最值.热点一 数列的求和问题 [考法 1] 分组转化...
