（浙江专用）高考数学二轮复习 专题三 数列 第3讲 数列不等式的证明问题（选用）学案-人教版高三全册数学学案

第 3 讲 数列不等式的证明问题(选用)高考定位 1.数列中不等式的证明是浙江高考数学试题的压轴题；2.主要考查数学归纳法放缩法、反证法等数列不等式的证明方法，以及不等式的性质；3.重点考查学生逻辑推理能力和创新意识.真 题 感 悟 (2017·浙江卷)已知数列{xn}满足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N*).证明：当 n∈N*时，(1)0＜xn＋1＜xn；(2)2xn＋1－xn≤；(3)≤xn≤.证明 (1)用数学归纳法证明：xn＞0.当 n＝1 时，x1＝1＞0.假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时，xk＞0，那么 n＝k＋1 时，若 xk＋1≤0，则 0＜xk＝xk＋1＋ln(1＋xk＋1)≤0，矛盾，故 xk＋1＞0，因此 xn＞0(n∈N*).所以 xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)＞xn＋1，因此 0＜xn＋1＜xn(x∈N*).(2)由 xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)得，xnxn＋1－4xn＋1＋2xn＝x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1).记函数 f(x)＝x2－2x＋(x＋2)ln(1＋x)(x≥0).f′(x)＝＋ln＞0(x＞0)，函数 f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以 f(x)≥f(0)＝0，因此 x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)＝f(xn＋1)≥0，故 2xn＋1－xn≤(n∈N*).(3)因为 xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)≤xn＋1＋xn＋1＝2xn＋1，所以 xn≥xn－1≥xn－2≥…≥x1＝.故 xn≥.由≥2xn＋1－xn得－≥2＞0，所以－≥2≥…≥2n－1＝2n－2，故 xn≤.综上，≤xn≤(n∈N*).考 点 整 合1.数学归纳法证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当 n＝k＋1 时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立.2.反证法一般地，由证明 pq 转向证明：綈 qr …t，t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定綈 q 为假，推出 q 为真的方法，叫做反证法.3.放缩法放缩法是利用不等式的传递性，证明不等式的方法，要证 A0 且 a≠1，n∈N*).(1)证明：当 n≥2 时，anb.证明 (1)由 an＋1＝知，an与 a1的符号相同，而 a1＝a>0，所以 an>0，所以 an＋1＝≤1，当且仅当 an＝1 时，an＋1＝1，下面用数学归纳法证明：① 因为 a>0 且 a≠1，...