第 2 讲 数列的求和问题[考情考向分析] 数列的求和问题作为数列的基础知识，为数列与不等式等综合问题提供必要的准备．热点一 分组转化法求和有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．例 1 在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a3＝4，a3是 a2－2 与 a4的等差中项，若 an＋1＝(n∈N*)．(1)求数列{bn}的通项公式；(2)若数列满足 cn＝an＋1＋，求数列的前 n 项和 Sn.解 (1)设等比数列{an}的公比为 q，且 q>0，由 an>0，a1a3＝4，得 a2＝2，又 a3是 a2－2 与 a4的等差中项，故 2a3＝a2－2＋a4，∴2·2q＝2－2＋2q2，∴q＝2 或 q＝0(舍)．∴an＝a2qn－2＝2n－1，∴an＋1＝2n＝，∴bn＝n(n∈N*)．(2)由(1)得，cn＝an＋1＋＝2n＋＝2n＋，∴数列的前 n 项和Sn＝2＋22＋…＋2n＋＝＋＝2n＋1－2＋(n∈N*)．思维升华 在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数 n 进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式．跟踪演练 1 已知{an}为等差数列，且 a2＝3，{an}前 4 项的和为 16，数列{bn}满足 b1＝4，b4＝88，且数列为等比数列(n∈N*)．(1)求数列{an}和的通项公式；(2)求数列{bn}的前 n 项和 Sn.解 (1)设{an}的公差为 d，因为 a2＝3，{an}前 4 项的和为 16，所以 a1＋d＝3,4a1＋d＝16，解得 a1＝1，d＝2，所以 an＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n∈N*)．设的公比为 q，则 b4－a4＝q3，所以 q3＝＝＝27，得 q＝3，所以 bn－an＝×3n－1＝3n(n∈N*)．(2)由(1)得 bn＝3n＋2n－1，所以 Sn＝(3＋32＋33＋…＋3n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)＝＋＝＋n2＝＋n2－(n∈N*)．热点二 错位相减法求和错位相减法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前 n 项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．例 2 已知数列{an}满足 a1＝a3，an＋1－＝，设 bn＝2nan(n∈N*)．(1)求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.解 (1)由 bn＝2nan，得 an＝，代入 an＋1－＝得－＝，即 bn＋1－bn＝3，所以数列{bn}是公差为 3 的等差数列，又 a1＝a3...
