第 3 讲 数列的综合问题[考情考向分析] 1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.与数列有关的不等式的证明问题是高考考查的一个热点，也是一个难点，主要涉及到的方法有作差法、放缩法、数学归纳法等．热点一 利用 Sn，an的关系式求 an1.数列{an}中，an与 Sn的关系an＝2．求数列通项的常用方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．(2)在已知数列{an}中，满足 an＋1－an＝f(n)，且 f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项 an.(3)在已知数列{an}中，满足＝f(n)，且 f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项 an.(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．例 1 (2018·浙江)已知等比数列{an}的公比 q>1，且 a3＋a4＋a5＝28，a4＋2 是 a3，a5的等差中项．数列{bn}满足 b1＝1，数列{(bn＋1－bn)an}的前 n 项和为 2n2＋n.(1)求 q 的值；(2)求数列{bn}的通项公式．解 (1)由 a4＋2 是 a3，a5的等差中项，得 a3＋a5＝2a4＋4，所以 a3＋a4＋a5＝3a4＋4＝28，解得 a4＝8.由 a3＋a5＝20，得 8＝20，解得 q＝2 或 q＝.因为 q>1，所以 q＝2.(2)设 cn＝(bn＋1－bn)an，数列{cn}的前 n 项和为 Sn.由 cn＝解得 cn＝4n－1(n∈N*)．由(1)可得 an＝2n－1，所以 bn＋1－bn＝(4n－1)×n－1，故 bn－bn－1＝(4n－5)×n－2，n≥2，bn－b1＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1)＝(4n－5)×n－2＋(4n－9)×n－3＋…＋7×＋3.设 Tn＝3＋7×＋11×2＋…＋(4n－5)×n－2，n≥2，①则 Tn＝3×＋7×2＋…＋(4n－9)×n－2＋(4n－5)×n－1，n≥2，②①－②，得 Tn＝3＋4×＋4×2＋…＋4×n－2－(4n－5)×n－1，n≥2，因此 Tn＝14－(4n＋3)×n－2，n≥2.又 b1＝1，所以 bn＝15－(4n＋3)×n－2，n≥2，当 n＝1 时，b1＝1 也满足上式，所以 bn＝15－(4n＋3)×n－2，n∈N*.思维升华 给出 Sn与 an的递推关系，求 an，常用思路：一是利用 Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn的递推关系，先求出 Sn与 n 之间的关系，再求 an.跟踪演练 1 已知数列{an}的前 n 项和 Sn满足：a1an＝S1＋Sn.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若 an>0，数列的前 n 项和为 Tn，试问当 n 为何值时，Tn最小？并求出最小值．解...
