（浙江专用）高考数学二轮复习 专题三 数列与不等式 规范答题示例5 数列的通项与求和问题学案-人教版高三全册数学学案

规范答题示例 5 数列的通项与求和问题典例 5 (15 分)已知数列{an}中，a1＝4，an＋1＝，n∈N*，Sn为{an}的前 n 项和．(1)求证：当 n∈N*时，an>an＋1；(2)求证：当 n∈N*时，2≤Sn－2n<.审题路线图 (1)―――――――――→――→(2)――→―→―→―→――→―→――→规 范 解 答·分 步 得 分构 建 答 题 模 板证明 (1)当 n≥2 时，因为 an－an＋1＝－＝，2 分所以 an－an＋1与 an－1－an同号.3 分又因为 a1＝4，a2＝，a1－a2>0，所以当 n∈N*时，an>an＋1.5 分(2)由条件易得 2a＝6＋an，所以 2(a－4)＝an－2，所以 2(an＋1－2)(an＋1＋2)＝an－2，①所以 an＋1－2 与 an－2 同号．又因为 a1＝4，即 a1－2>0，所以 an>2.8 分又 Sn＝a1＋a2＋…＋an≥a1＋(n－1)×2＝2n＋2.所以 Sn－2n≥2.10 分由①可得＝<，因此 an－2≤(a1－2)×n－1，即 an≤2＋2×n－1，12 分所以 Sn＝a1＋a2＋…＋an≤2n＋2＝2n＋<2n＋.综上可得，2≤Sn－2n<.15 分第一步 找关系：分析数列的递推式，把握数列的项之间的关系；第二步 巧变形：根据所证式子的特点，对递推式灵活变形或适当放缩；第三步 凑结论：观察变形后的式子和欲证结论的联系，凑出最后结果.评分细则 (1)证出 an－an＋1与 an－1－an同号给 3 分．(2)证出 an＋1－2 与 an－2 同号给 2 分．(3)证出 Sn－2n≥2 给 2 分．跟踪演练 5 (2018·温州高考适应性测试)已知正项数列{an}满足 an＋1＝－2an－1，且 an＋10，解得 an>1 或 an<－7(舍去)，所以 a1>1.(2)证明 方法一 要证明 an＋10，因为 an>1，上式显然成立，故 an＋11，所以>2，上式显然成立，故 an＋1