（课标通用）高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 11.9 离散型随机变量的均值与方差、正态分布学案 理-人教版高三全册数学学案

§11.9 离散型随机变量的均值与方差、正态分布考纲展示► 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．2．能计算简单的离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．3．利用实际问题的直方图，了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义．考点 1 离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量 X 的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值：称 E(X)＝____________________为随机变量 X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的________．(2)D(X)＝xi－E(X)]2pi为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均________程度，其算术平方根为随机变量 X 的标准差．答案：(1)x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 平均水平 (2)偏离(1)[教材习题改编]设 X～B(n，p)，若 D(X)＝4，E(X)＝12，则 n 的值为________．答案：18解析： X～B(n，p)，∴解得 p＝，n＝18.(2)[教材习题改编]一台机器在一天内发生故障的概率为 0.1.这台机器一周五个工作日不发生故障，可获利 5 万元；发生一次故障仍可获利 2.5 万元；发生两次故障的利润为 0 万元；发生三次或者三次以上的故障要亏损 1 万元．则这台机器一周内可能获利的均值是________万元．答案：3.764 015解析：设这台机器一周内可能获利 X 万元，则 P(X＝5)＝(1－0.1)5＝0.590 49，P(X＝2.5)＝C×0.1×(1－0.1)4＝0.328 05，P(X＝0)＝C×0.12×(1－0.1)3＝0.072 9，P(X＝－1)＝1－P(X＝5)－P(X＝2.5)－P(X＝0)＝0.008 56，所以 X 的分布列为X52.50－1P0.590 490.328 050.072 90.008 56所以，这台机器一周内可能获利的均值为 5×0.590 49＋2.5×0.328 05＋0×0.072 9＋(－1)×0.008 56＝3.764 015(万元)．(3)[教材习题改编]随机变量 ξ 的分布列为ξ－101Pabc其中 a，b，c 成等差数列，若 E(ξ)＝，则 D(ξ)＝________.答案：解析：由题意有 a＋b＋c＝1,2b＝a＋c，－a＋c＝，得 a＝，b＝，c＝，所以 D(ξ)＝×2＋×2＋×2＝.离散型随机变量的均值与方差：随机变量的取值；对应取值的概率计算．签盒中有编号为 1,2,3,4,5,6 的 6 支签，从中任意取 3 支，设 X 为这 3 支签的号码之中最大的一个，则 X 的数学期望为________．答案：5.25解析：由题意可知，X 可以取 3,4,5,6，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝，所以由数学期望的定义可求得 E(X)＝5.25.[考情聚焦] 离散型随...