§5.3 平面向量的数量积考纲展示► 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．考点 1 平面向量的数量积的运算 1.平面向量数量积的有关概念(1) 向 量 的 夹 角 ： 已 知 两 个 非 零 向 量 a 和 b ， 记 OA ＝ a ， OB ＝ b ， 则 ∠ AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量 a 与 b 的夹角．(2)数量积的定义：已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，则________ 叫做 a 与 b的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝________，规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 0·a＝0.(3)数量积的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影________的乘积．答案：(2)|a||b|cos θ |a||b|cos θ(3)|b|cos θ2．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝________(分配律)．答案：(3)a·c＋b·c(1)[教材习题改编]在△ABC 中，AB·BC>0，则△ABC 是________三角形．答案：钝角解析：由向量夹角的定义可知，AB与BC的夹角为 π－B，则AB·BC＝|AB||BC|cos(π－B)>0，得 cos(π－B)>0，∴cos B<0，即角 B 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形．(2)[教材习题改编]在▱ABCD 中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝60°，则AB·AD＝________.答案：－4解析：在平行四边形 ABCD 中，AD＝BC， ∠BAD＝180°－∠ABC＝120°，∴AB·AD＝AB·BC＝|AB||BC|cos∠BAD＝4×2cos 120°＝－4.与平面向量的数量积有关的易错点：投影；向量夹角；运算律．下列说法正确的有________个．① 向量 b 在向量 a 方向上的投影是向量；② 若 a·b＞0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a·b＜0，则 a 和 b 的夹角为钝角；③(a·b)·c＝a·(b·c)；④ 若 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0.答案：0解析：①向量 b 在 a 方向上的投影是数量，为|b|cos θ，它可以为正，可以为负，也可以为 0；②a·b＞0 与 a 和 b 的夹角为锐角不等价，a·b＞0 还包含 a 和 b 同向的情形．同样 a·b＜0 不仅包含 a 和 b 的夹角为钝角，还包含 a 和 b 反向的情形；③ 由于(a·b)·c 表示一个与 c 共线的向量，a·(b·c)表示一个与 a 共线的...
