第 8 讲 立体几何中的向量方法(二)——求空间角最新考纲 1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.知 识 梳 理1.异面直线所成的角设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2的方向向量，则a 与 b 的夹角 βl1与 l2所成的角 θ范围(0，π)求法cos β＝cos θ＝|cos β|＝2.求直线与平面所成的角设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角为 θ，则 sin θ＝| cos 〈 a ， n 〉 | ＝.3.求二面角的大小(1)如图①，AB，CD 是二面角 α－l－β 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝__〈 AB ， CD 〉 .(2)如图②③，n1，n2 分别是二面角 α－l－β 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大小 θ 满足|cos θ|＝| cos 〈 n 1， n 2〉 | ，二面角的平面角大小是向量 n1与 n2的夹角(或其补角).诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( )(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( )(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( )(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π].( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(选修 2－1P104 练习 2 改编)已知两平面的法向量分别为 m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为( )A.45° B.135°C.45°或 135° D.90°解析 cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°.∴两平面所成二面角为 45°或 180°－45°＝135°.答案 C3.(2014·全国Ⅱ卷)在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N 分别是 A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( )A. B.C. D.解 析 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 C － xyz ， 设 BC ＝ 2 ， 则B(0，2，0)，A(2，0，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，所以BM＝(1，－1，2)，AN＝(－1，0，2)，故 BM 与 AN 所成角 θ 的余弦值 cos θ＝＝＝.答案 C4.正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 a，点 M 在 AC1上且AM＝MC1，N 为 B1B 的中点，则|MN|为( )A.a B.aC.a D.a解 析 以 D 为 原 点 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 D － xy...
