第 3 讲 函数的奇偶性与周期性最新考纲 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.知 识 梳 理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f ( － x ) ＝ f ( x ) ，那么函数 f(x)是偶函数关于 y 轴 对称奇函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，那么函数 f(x)是奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数 y＝x2在 x∈(0，＋∞)时是偶函数.( )(2)若函数 f(x)为奇函数，则一定有 f(0)＝0.( )(3)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称.( )(4)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.( ) 解析 (1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故 y＝x2在(0，＋∞)上不是偶函数，(1)错.(2)由奇函数定义可知，若 f(x)为奇函数，其在 x＝0 处有意义时才满足 f(0)＝0，(2)错.答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(2017·西安铁中月考)下列函数为奇函数的是( )A.y＝ B.y＝exC.y＝cos x D.y＝ex－e－x解析 A，B 中显然为非奇非偶函数；C 中 y＝cos x 为偶函数.D 中函数定义域为 R，又 f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，∴y＝ex－e－x为奇函数.答案 D3.已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么 a＋b 的值是( )A.－ B. C. D.－解析 依题意 b＝0，且 2a＝－(a－1)，∴a＝，则 a＋b＝.答案 B4.设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x∈[－1，1)时，f(x)＝则 f＝________.解析 f(x)的周期为 2，∴f＝f，又 当－1≤x<0 时，f(x)＝－4x2＋2，∴f＝f＝－4×＋2＝1.答案 15.(2014·全国Ⅱ卷)偶函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝2 对称，f(3)＝3，则 f(－1)＝________.解析 f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)....
