第 3 讲 函数的奇偶性、对称性1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f ( － x ) ＝ f ( x ) ，那么函数 f(x)是偶函数关于 y 轴 对称奇函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，那么函数 f(x)是奇函数关于原点对称2.函数奇偶性的几个重要结论(1)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于 y 轴对称．(2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即 f(x)＝0，x∈D，其中定义域 D 是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．3．函数的对称性(1)若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＝f(b－x)，则函数 y＝f(x)关于直线 x＝对称，特别地，当 a＝b＝0 时，函数 y＝f(x)关于 y 轴对称，此时函数 y＝f(x)是偶函数．(2)若函数 y＝f(x)满足 f(x)＝2b－f(2a－x)，则函数 y＝f(x)关于点(a，b)对称，特别地，当 a＝0，b＝0 时，f(x)＝－f(－x)，则函数 y＝f(x)关于原点对称，此时函数 f(x)是奇函数．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，则 f(－x)＋f(x)＝0.( )(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(3)如果函数 f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则 F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( )(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( )(5)若函数 f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b，x∈[a，b]的图象关于直线 x＝1 对称，则 a＋b＝2.( )答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√[教材衍化]1．(必修 1P35 例 5 改编)下列函数中为偶函数的是( )A．y＝x2sin x B．y＝x2cos xC．y＝|ln x| D．y＝2－x解析：选 B.根据偶函数的定义知偶函数满足 f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数．故选 B.2．(必修 1P45B 组 T6 改编)已知函数 f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](a
