第 8 讲 函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数 y＝f(x)，把使 f ( x ) ＝ 0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．(2)三个等价关系：方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴 有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．函数零点的判定如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f ( a )· f ( b ) ＜ 0 ，那么函数 y＝f(x)在区间( a ， b ) 内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f ( c ) ＝ 0 ，这个 c也就是 f(x)＝0 的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．3．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与 x 轴的交点( x 1， 0 ) ，( x 2， 0 ) (x1，0)无交点零点个数两个一个零个[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点．( )(2)函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a)·f(b)<0.( )(3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在 b2－4ac<0 时没有零点．( )(4)若函数 f(x)在(a，b)上连续单调且 f(a)·f(b)<0，则函数 f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√[教材衍化]1．(必修 1P92A 组 T5 改编)函数 f(x)＝ln x－的零点所在的大致范围是( )A．(1，2) B．(2，3)C.和(3，4) D．(4，＋∞)解析：选 B.易知 f(x)为增函数，由 f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，得f(2)·f(3)＜0.故选 B.2．(必修 1P88 例 1 改编)函数 f(x)＝ex＋3x 的零点个数是______．解析：由已知得 f′(x)＝ex＋3>0，所以 f(x)在 R 上单调递增，又 f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函数 f(x)有且只有一个零点．答案：1[易错纠偏](1)错用零点存在性定理；(2)误解函数零点的定义；(3)忽略限制条件；(4)错用二次函数在 R 上无零点的条件．1．函数 f(x)＝x＋的零点个数是______．解析：函数的定义域为{x|x≠0}，当 x>0 时，f(x)>0，当 x<0 时，f(x)<0，所以函数没有零点．答案：02．函数 f(x)＝x2－3x 的零点是______．解析：由 f(x)＝0，得 x2－3x＝0，即 x＝0 和 x＝3.答案：0 和 33．若二次函数 f(x)＝x2－2x＋m 在区间(0，4)上存在零点，则实数 m 的取值范围是______．解析：二次函数 f(x)图象的对称轴方程为 x＝1.若在区间(0，4)上存在零点，...
