第 5 讲 椭 圆1．椭圆的定义条件结论 1结论 2平面内的动点 M 与平面内的两个定点 F1，F2M 点的轨迹为椭圆F1、 F 2 为椭圆的焦点| F 1F2|为椭圆的焦距|MF1|＋|MF2|＝2a2a＞|F1F2|2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：x 轴、 y 轴 对称中心：(0，0)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴 A1A2的长为 2 a 短轴 B1B2的长为 2 b 焦距|F1F2|＝2 c 离心率e＝，e∈(0，1)a，b，c 的关系c2＝a 2 － b 2 3.点与椭圆的位置关系已知点 P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则(1)点 P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1；(2)点 P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1；(3)点 P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1.4．椭圆中四个常用结论(1)P 是椭圆上一点，F 为椭圆的焦点，则|PF|∈[a－c，a＋c]，即椭圆上的点到焦点距离的最大值为 a＋c，最小值为 a－c.(2)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为，通径是最短的焦点弦．(3)P 是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为 2(a＋c)．(4)设 P，A，B 是椭圆上不同的三点，其中 A，B 关于原点对称，直线 PA，PB 斜率存在且不为 0，则直线 PA 与 PB 的斜率之积为定值－.[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点 F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )(2)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆．( )(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( )(4)方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( )(5)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√[教材衍化]1．(选修 21P40 例 1 改编)若 F1(－3，0)，F2(3，0)，点 P 到 F1，F2距离之和为 10，则P 点的轨迹方程是( )A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝1 或＋＝1解析：选 A.设点 P 的坐标为(x，y)，因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点 P 的轨迹是以 F1，F2为焦点的椭圆，其中 a＝5，c＝3，b＝＝4，故点 P 的轨迹方程为＋＝1.故选A.2．(选修 21P49A 组 T6 改编)设椭圆的两个焦点分别为 F1，F2，过点 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )A. B.C．2－ D.－1解析：选 D.设椭圆方程为＋＝...
