第 6 讲 双曲线1．双曲线的定义条 件结论 1结论 2平面内的动点 M 与平面内的两个定点 F1，F2M 点的轨迹为双曲线F1、 F 2 为双曲线的焦点| F 1F2|为双曲线的焦距||MF1|－|MF2||＝2a2a<|F1F2|2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图 形性质范围x≥a 或 x≤－a，y∈Ry≤－a 或 y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)实虚轴线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a 叫做双曲线的半实轴长，b 叫做双曲线的半虚轴长a、b、c 的关系c2＝a 2 ＋ b 2 (c＞a＞0，c＞b＞0)3.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．(2)等轴双曲线⇔离心率 e＝⇔两条渐近线 y＝±x 相互垂直．4．双曲线中一些常用的结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b.(2)若 P 是双曲线右支上一点，F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|max＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为 2a.(4)设 P，A，B 是双曲线上的三个不同的点，其中 A，B 关于原点对称，直线 PA，PB 斜率存在且不为 0，则直线 PA 与 PB 的斜率之积为.(5)P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则 S△PF1F2＝b2·，其中 θ 为∠F1PF2.[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点 F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线．( )(2)椭圆的离心率 e∈(0，1)，双曲线的离心率 e∈(1，＋∞)．( )(3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线．( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√[教材衍化]1．(选修 21P61A 组 T1 改编)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________．解析：由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为±＝0，即bx±ay＝0，所以 2a＝＝b.又 a2＋b2＝c2，所以 5a2＝c2.所以 e2＝＝5，所以 e＝.答案：2．(选修 21P62A 组 T6 改编)经过点 A(3，－1)，且对称轴都在坐...
