第 8 讲 直线与椭圆、抛物线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程 C1与直线方程 l 联立消去 y，整理得到关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0.方程 ax2＋bx＋c＝0 的解l 与 C1的交点a＝0b＝0无解(含 l 是双曲线的渐近线)无公共点b≠0有一解(含 l 与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)一个交点a≠0Δ＞0两个不相等的解两个交点Δ＝0两个相等的解一个交点Δ＜0无实数解无交点(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A，B 两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB |＝|x1－x2|＝ ＝ |y1－y2|＝ .3．与抛物线焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ 为直线 AB 的倾斜角)．(3)＋为定值.(4)以 AB 为直径的圆与准线相切．(5)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切．[教材衍化]1．(选修 21P80A 组 T8 改编)已知与向量 v＝(1，0)平行的直线 l 与双曲线－y2＝1 相交于 A，B 两点，则|AB|的最小值为________．解析：由题意可设直线 l 的方程为 y＝m，代入－y2＝1 得 x2＝4(1＋m2)，所以 x1＝ ＝2，x2＝－2，所以|AB|＝|x1－x2|＝4≥4，即当 m＝0 时，|AB|有最小值 4.答案：42 ． ( 选 修 21P72 练 习 T4 改 编 ) 过 抛 物 线 y2 ＝ 4x 的 焦 点 的 直 线 l 交 抛 物 线 于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果 x1＋x2＝6，则|PQ|＝________．解析：抛物线 y2＝4x 的焦点为 F(1，0)，准线方程为 x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.答案：8[易错纠偏](1)没有发现直线过定点，导致运算量偏大；(2)不会用函数法解最值问题；(3)错用双曲线的几何性质．1．直线 y＝kx－k＋1 与椭圆＋＝1 的位置关系为( )A．相交 B．相切C．相离 D．不确定解析：选 A.直线 y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1 恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．故选 A.2．如图，两条距离为 4 的直线都与 y 轴平行，它们与抛物线 y2＝－2px(0＜p＜14)和圆(x－4)2＋y2＝9 分别交于 A，B 和 C，D，且抛物线的准线与圆相切，则当|AB|·|CD|取得最大值时，直线 AB 的方程为________．解析...
