第 3 讲 等比数列及其前 n 项和1．等比数列的有关概念(1)定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示，定义的表达式为＝ q ( q ≠0 ， n ∈ N * ) ．(2)等比中项如果 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项．即：G 是 a 与 b 的等比中项⇔G 2 ＝ ab ．“a，G，b 成等比数列”是“G 是 a 与 b 的等比中项”的充分不必要条件．2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1q n － 1 ．(2)前 n 项和公式：Sn＝3．等比数列的性质已知数列{an}是等比数列，Sn是其前 n 项和(m，n，p，q，r，k∈N*)(1)若 m＋n＝p＋q＝2r，则 am·an＝ap· a q＝a；(2)数列 am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；(3)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比 q≠－1)．4．等比数列的单调性当 q>1，a1>0 或 01，a1<0 或 00 时，{an}是递减数列；当 q＝1 时，{an}是常数列．5．等比数列与指数函数的关系当 q≠1 时，an＝·qn，可以看成函数 y＝cqx，是一个不为 0 的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数 y＝cqx的图象上．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．( )(2)三个数 a，b，c 成等比数列的充要条件是 b2＝ac.( )(3)满足 an＋1＝qan(n∈N*，q 为常数)的数列{an}为等比数列．( )(4)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( )(5)等比数列中不存在数值为 0 的项．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√[教材衍化]1．(必修 5P54A 组 T8 改编)在 3 与 192 中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．解析：设该数列的公比为 q，由题意知，192＝3×q3，q3＝64，所以 q＝4.所以插入的两个数分别为 3×4＝12，12×4＝48.答案：12，482．(必修 5P51 例 3 改编)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比 q＝________．解析：由题意知 q3＝＝，所以 q＝.答案：3．(必修 5P61A 组 T1 改编)等比数列{an}的首项 a1＝－1，前 n 项和为 Sn，若＝，则{an}的通项公式 an＝________．解析...
