第 5 讲 数列的综合应用 等差数列与等比数列的综合问题 (2018·高考浙江卷)已知等比数列{an}的公比 q>1，且 a3＋a4＋a5＝28，a4＋2 是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足 b1＝1，数列{(bn＋1－bn)an}的前 n 项和为 2n2＋n.(1)求 q 的值；(2)求数列{bn}的通项公式．【解】 (1)由 a4＋2 是 a3，a5的等差中项得 a3＋a5＝2a4＋4，所以 a3＋a4＋a5＝3a4＋4＝28，解得 a4＝8.由 a3＋a5＝20 得 8＝20，解得 q＝2 或 q＝，因为 q>1，所以 q＝2.(2)设 cn＝(bn＋1－bn)an，数列{cn}前 n 项和为 Sn.由 cn＝解得 cn＝4n－1.由(1)可知 an＝2n－1，所以 bn＋1－bn＝(4n－1)·，故 bn－bn－1＝(4n－5)·，n≥2，bn－b1＝(bn－bn－1)·(bn－1－bn－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1)＝(4n－5)·＋(4n－9)·＋…＋7·＋3.设 Tn＝3＋7·＋11·＋…＋(4n－5)·，n≥2，Tn＝3·＋7·＋…＋(4n－9)·＋(4n－5)·，所以 Tn＝3＋4·＋4·＋…＋4·－(4n－5)·，因此 Tn＝14－(4n＋3)·，n≥2，又 b1＝1，所以 bn＝15－(4n＋3)·.解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开弄清两个数列各自的特征，再进行求解． 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝－3Sn＋4，bn＝－log2an＋1.(1)求数列{an}的通项公式与数列{bn}的通项公式；(2)令 cn＝＋，其中 n∈N*，若数列{cn}的前 n 项和为 Tn，求 Tn.解：(1)由 a1＝－3a1＋4，得 a1＝1，由 an＝－3Sn＋4，知 an＋1＝－3Sn＋1＋4，两式相减并化简得 an＋1＝an，所以 an＝.bn＝－log2an＋1＝－log2＝2n.(2)由题意知，cn＝＋.令 Hn＝＋＋＋…＋，①则 Hn＝＋＋…＋＋，②①－②得，Hn＝＋＋＋…＋－＝1－.所以 Hn＝2－.又 Mn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，所以 Tn＝Hn＋Mn＝2－＋. 数列与函数的综合问题 (2020· 杭 州 学 军 中 学 高 三 模 拟 ) 已 知 数 列 {an} 的 前 n 项 和 Sn ＝ － an － ＋2(n∈N*)，数列{bn}满足 bn＝2nan.(1)求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；(2)设 cn＝log2，数列的前 n 项和为 Tn，求满足 Tn<(n∈N*)的 n 的最大值．【解】 (1)在 Sn＝－an－＋2 中，令 n＝1，可得 a1＝S1＝－a1－1＋2，a1＝....
