第 8 讲 正弦定理和余弦定理的应用举例1．实际问题中的常用述语(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．(2)方位角从正北方向顺时针转到目标方向线的角(如图②，B 点的方位角为 α)．(3)方向角相对于某一正方向的角(如图③)．① 北偏东 α：指从正北方向顺时针旋转 α 到达目标方向．② 东北方向：指北偏东 45°.③ 其他方向角类似．2．解三角形应用题的一般步骤[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)东北方向就是北偏东 45°的方向．( )(2)从 A 处望 B 处的仰角为 α，从 B 处望 A 处的俯角为 β，则 α，β 的关系为 α＋β＝180°.( )(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.( )(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( )1(5)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是[0，)．( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√[教材衍化]1．(必修 5P11 例 1 改编)如图所示，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，则可以计算出 A，B 两点的距离为________m.解析：由正弦定理得＝，又因为∠B＝30°，所以 AB＝＝＝50(m)．答案：502．(必修 5P13 例 3 改编)如图，在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为30°，沿倾斜角为 15°的斜坡向上走 a 米到 B，在 B 处测得山顶 P 的仰角为 60°，则山高 h＝________米．解析：由题图可得∠PAQ＝α＝30°，∠BAQ＝β＝15°，△PAB 中，∠PAB＝α－β＝15°，又∠PBC＝γ＝60°，所以∠BPA＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°，所以＝，所以 PB＝a，所以 PQ＝PC＋CQ＝PB·sin γ＋asin β＝a×sin 60°＋asin 15°＝a.答案：a[易错纠偏](1)方向角与方位角概念不清；(2)仰角、俯角概念不清；(3)不能将空间问题转化为解三角形问题．1.如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°的方向上，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°的方向上，则灯塔 A 相对于灯塔 B 的方向为( )A．北偏西 5° B．北偏西 10°C．北偏西 15° D．北偏西 20°解析：选 B.易知∠B＝∠A＝30°，C 在 B 的北偏西 40°的方向上，又 40°－30°＝10°，故灯塔 A ...
