抽象函数的性质问题解析抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。1、 定义域：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。材料一：若函数的定义域为，求函数的定义域。解析：由的定义域为，知中的，从而，对函数而言，有，解之得：。所以函数的定义域为总结：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的与的范围等同。2、 值域：解决抽象函数的值域问题——定义域、对应法则决定。材料二：若函数的值域为，求函数的值域。解析：函数中定义域与对应法则与函数的定义域与对应法则完全相同，故函数的值域也为。总结：当函数的定义域与对应法则不变时，函数的值域也不会改变。3、 对称性：解决抽象函数的对称问题——定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。材料三：设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于（ ）A、直线对称 B 直线对称 C 直线对称 D 直线对称解 法 一 （ 定 义 证 明 ） ： 设 点是 函 数的 图 象 上 的 任 意 一 点 ， 则，关 于 直 线的 对 称 点 为， 要 使 点在函数的图象上，则，应有，故，所以函数与的图象关于直线对称。解法二（图象变换法）：由函数的图象向右平移 1 个单位得到函数的图象；由函数的图象关于轴对称得到函数的图象，再向右平移 1 个单位，得到的图象。如图所示，选 D。解法三（特值代入法）：由已知可得点在函数的图象上，点在函数的图象上，又点 P、Q 关于直线对称，选 D。总结：了解一些简单结论对解题也是很有好处的。如：函数满足，则函数的自对称轴为；函数与的互对称轴为，即4、 周期性：解决抽象函数的周期性问题——充分理解与运用相关的抽象式是关键。材料四：设是定义在 R 上的奇函数，其图象关于直线对称。证明是周期用心 爱心 专心函数。证明：由的图象关于直线对称，得，又是定义在 R 上的奇函数，所以，则由周期函数的定义可知 4 是它的一个周期。总结：一般地，,均可断定函数的周期为 2T。5、 奇偶性：解决抽象函数的奇偶性问题——紧扣定义、合理赋值。材料五：已知是定义在 R 上的不恒为零的函数，且对于任意的，都满足：。判断的奇偶性，并证明你的结论。解析：...
