抽象函数问题的“原型”解法抽象函数问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究发现，由抽象函数结构、性质，联想已学过的基本函数，再由基本函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能有的相关结论，是使抽象函数问题获解的一种有效方法。所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。由抽象函数构成的数学问题叫抽象函数问题，这类问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究抽象函数问题的解法，对教师的教学，学生深刻理解并牢固掌握函数的相关内容，学好大纲规定的基本函数知识显得尤为重要。抽象来源于具体。抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的。如( )(0)f xkx k有121212()()()()f xxk xxf xf x可抽象为()( )( )f xyf xf y。那么 y =k x就叫做抽象函数( )f x 满足()( )( )f xyf xf y的“原型”（函数），分析抽象函数问题的解题过程及心理变化规律可知，一般均是由抽象函数的结构，联想到已学过的具有相同或相似结构的某类（基本）“原型”函数，并由“原型”函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能具有的某种性质使问题获解的，称这种解抽象函数问题的方法为“原型”解法。下面给出中学阶段常用的“原型”（函数）并举例说明“原型”解法。一、中学阶段常用抽象函数( )f x 的“原型”（函数）1、()( )( )f xyf xf y—— ykx(k 为常数）2、()( ) ( )f xyf x f y—— y =xa （a ＞0 且a ≠1）3、()( )( )f xyf xf y——logayx (a ＞0 且a ≠1)4、()( ) ( )f xyf x f y——nyx(n 为常数）5、( )( )2 () ()22xyxyf xf yff或()()2 ( ) ( )f xyf xyf x f y－－ y =cos x ( 为常数） 6、( )( )()1( ) ( )f xf yf xyf x f y －－ y = tan x二、“原型”解法例析【例1】 设函数( )f x 满足( )( )2 () ()22xyxyf xf yff，且 f ( 2 )=0， x 、 y∈R；求证：( )f x 为周期函数，并指出它的一个周期。分析与简证：由( )( )2 () ()22xyxyf xf yff想：12coscosxx=2cos221xx cos221xx 原型： y =cos x ，为周期函数且 2π 为它的一个周期。猜测：( )f x 为周期函数，2π 为它的一个周...
