题目 第九章(B)直线、平面、简单几何体空间向量的坐标运算高考要求 要使学生理解空间向量、空间点的坐标的意义，掌握向量加法、减法、数乘、点乘的坐标表示以及两点间的距离、夹角公式通过解题，会应用空间向量的坐标运算解决立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题知识点归纳 1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 ，这个基底叫单位正交基底，用表示；（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；2．空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若，，则，，，， ，．（2）若，，则．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4 模长公式：若，，则，．5．夹角公式：．6．两点间的距离公式：若，，则，或 题型讲解 例 1 已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面 ABC 的单位法向量解：设面 ABC 的法向量，则⊥且⊥，即·=0，且·=0，即 2x+2y+z=0 且 4x+5y+3z=0，解得∴=z（，－1，1），单位法向量=±（，－，）点评：一般情况下求法向量用待定系数法由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把的某个坐标设为 1，再求另两个坐标平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解例 2 已知 A（3，2，1）、B（1，0，4），求：（1）线段 AB 的中点坐标和长度；（2）到 A、B 两点距离相等的点 P（x，y，z）的坐标满足的条件解：（1）设 P（x，y，z）是 AB 的中点，则= （+）=［（3，2，1）+（1，0，4）］=（2，1，），∴点 P的坐标是（2，1，），dAB==（2）设点 P（x，y，z）到 A、B 的距离相等，则=化简得 4x+4y－6z+3=0（线段 AB 的中垂面方程，其法向量的坐标就是方程中 x,y,z 的系数），即为 P 的坐标应满足的条件点评：空间两点 P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）的中点为（，，），且|P1P2|= 例 3 棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，在棱 DD1 上是否存在点 P...
